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Se desea construir una caja cuadrada abierta por arriba y del mayor volumen posible, cortando las esquinas cuadradas iguales y doblando hacia arriba para formar las caras laterales.
Sí se dispone de una pieza de hojalata de 32 centímetros por lado, ¿Cuánto debe medir el cuadrado que se recorta para obtener el volumen máximo?
Datos :
X altura o profundidad de la caja.
32 – 2x longitud del lado del cuadrado que formará la base de la caja.
Se desea construir una caja cuadrada abierta por arriba y del mayor volumen posible, cortando las esquinas cuadradas iguales y doblando hacia arriba para formar las caras laterales.
Sí se dispone de una pieza de hojalata de 32 centímetros por lado, ¿Cuánto debe medir el cuadrado que se recorta para obtener el volumen máximo?
Datos :
X altura o profundidad de la caja.
32 – 2x longitud del lado del cuadrado que formará la base de la caja.
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Sea x el lado del cuadrado que se va a cortar en cada esquina,
x debe ser mayor que 0 y menor que 16 para que la caja exista.
0<x<16
Volumen = x(32-2x)(32-2x)
= 4(x)(16-x)²
Maximizamos la función V(x)=4(x)(16-x)²
en el intervalo <0,16>
Hallamos los puntos críticos: derivada igual a 0
V(x)= 4(256x - 32x² + x³)
V'(x) = 4(256 - 64x + 3x²)
V'(x) = 4(x-16)(3x-16)
Igualamos a 0. Entonces
x=16 y x=16/3 son puntos críticos,
Pero 0<x<16, por lo tanto x≠16
Entonces x=16/3 es un punto crítico de la función en el intervalo <0,16>
En este caso, resulta ser el máximo local
Entonces, V(x) = 4(x)(16-x)² es máxima en el intervalo <0,16> cuando x=16/3
El lado del cuadrado que se va a cortar debe medir 16/3 cm