Question

Los vértices ABC corresponden a un triángulo oblicuángulo. Con base en la siguiente figura, determina:


a) El valor del ángulo inscrito θ.

b) El ángulo central β.

c) El área del triángulo ABC.

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Un Triángulo Oblicuángulo es aquel que ninguno de sus ángulos es recto (90°), por lo que no se puede resolver por el Teorema de Pitágoras, por lo que se debe utilizar la Ley del Seno o del Coseno.

Formulando la Ley del Seno para el triángulo ABC.

El ángulo inscrito del vértice A es θ.

Los otros ángulos se denotarán como B y C.

15 cm/Sen B = 13 cm/Sen C = 7 cm/Sen θ

Adicionalmente por teoría se conoce que la suma de los ángulos internos e un triángulo es 180°.

180° = θ + B + C

Para resolverlo se traza virtualmente una línea desde el vértice A hasta el punto medio (M) del segmento BC por lo que se forma un triángulo rectángulo, que se resuelve por el Teorema de Pitágoras.

(13 cm)² = (7/2 cm)² + (AM)²

(AM)² = (13 cm)² - (7/2 cm)²

(AM)² = 169 cm² – 12,25 cm² = 156,75 cm²

(AM)² = 156,75 cm²

AM = √156,75 cm² = 12,52 cm

AM = 12,52 cm (este a la vez es la altura del triángulo ABC)

A este mismo triángulo se le aplica la Ley de los Senos, quedando:

13 m/Sen 90° = AM/Sen B = 7/2 cm/Sen (θ/2)

Para hallar el ángulo θ.

Sen (θ/2) = (3,5 cm/13 cm) Sen 90° = 0,2692

Sen (θ/2) = 0,2692

El ángulo (θ/2) se obtiene mediante la función ArcoSeno (Sen⁻¹)

θ/2 = ArcSen 0,2692 = 15,62°

θ/2 = 15,62°

Entonces el verdadero valor del ángulo Inscrito “θ” es:

θ = 2 x 15,62° = 31,24°

θ = 31,24°

Calculando el ángulo B.  

180° = 90° + (θ/2) + B

B = 180° - 90° - (15,62°) = 74,38°

B = 74,38°

De manera que el ángulo C se calcula a partir de:

180° = θ + B + C

C = 180° - θ – B = 180° - 31,24° - 74,38° = 74,38 °

C = 74,38 °

Para el ángulo central (β) se utilizará el triángulo interno con vértices OBC, siendo el segmento BC una cuerda de la circunferencia con centro “O”, se traza imaginariamente una recta desde el centro que divide en partes iguales a la cuerda; formándose otro triángulo rectángulo con relación de ángulos como sigue:  

180° = 90° - β/2 - B/2

180° - 90° - (37,19°) = β/2

β/2 = 52,81°

Luego el ángulo central “β” es:

β = 2 x 52,81° = 105,62°

β = 105,62°

El área del triángulo ABC se calcula mediante la fórmula.

A = base x altura/2 = 7 cm x AM/2

A = 7 cm x 12,52 cm/2 = 87,64 cm²/2 = 43,82 cm²

A = 43,82 cm²