Question

Kuis:
[tex]^{c/d} log (a/b)[/tex]

[A.] = (ln b - ln a)/(ln d - ln c)
[B.] = (ln a - ln b)/(ln c - ln d)
[C.] = (ln c - ln d)/(ln a - ln b)
[D.] = (ln d - ln c)/(ln b - ln a)
[E.] = (ln a - ln c)/(ln b - ln d)

Answer 1

[tex]\begin{aligned}{}^{c/d}\log(a/b)&=\boxed{\,\frac{\ln a-\ln b}{\ln c-\ln d}\,}\\{\sf atau}\\{}^{c/d}\log(a/b)&=\boxed{\,\frac{\ln b-\ln a}{\ln d-\ln c}\,}\end{aligned}[/tex]
(opsi A atau B benar)
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Berdasarkan opsi jawaban yang diberikan, kita bisa menempuh cara penyelesaian dengan mengubah basis logaritmanya.

[tex]\begin{aligned}{}^{c/d}\log(a/b)&=\frac{{}^p\log(a/b)}{{}^p\log(c/d)}\\&\quad{\sf dengan}\ p > 0,\ p\ne1\\{}^{c/d}\log(a/b)&=\frac{{}^p\log a-{}^p\log b}{{}^p\log c-{}^p\log d}\end{aligned}[/tex]

Karena [tex]\ln x={}^e\log x[/tex], maka kita substitusi [tex]p[/tex] dengan [tex]e[/tex], sehingga:

[tex]\begin{aligned}{}^{c/d}\log(a/b)&=\frac{{}^e\log a-{}^e\log b}{{}^e\log c-{}^e\log d}\\\vphantom{\Bigg|}\therefore\ {}^{c/d}\log(a/b)&=\boxed{\,\frac{\ln a-\ln b}{\ln c-\ln d}\,}\end{aligned}[/tex]

dengan mengasumsikan [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], dan [tex]d[/tex] semuanya positif.

Apakah ada alternatif jawaban lain?

Perhatikan bahwa untuk sembarang [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], dan [tex]d[/tex], dengan [tex]c\ne d[/tex], berlaku:

[tex]\begin{aligned}\frac{a-b}{c-d}&=\frac{b-a}{d-c}\end{aligned}[/tex]

Bukti:

[tex]\begin{aligned}\frac{a-b}{c-d}&=\frac{b-a}{d-c}\\(a-b)(d-c)&=(b-a)(c-d)\\ad-bd-ac+bc&=bc-ac-bd+ad\end{aligned}[/tex]

Dapat diamati bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.

Oleh karena itu:

[tex]\begin{aligned}\therefore\ {}^{c/d}\log(a/b)&=\boxed{\,\frac{\ln a-\ln b}{\ln c-\ln d}\,}\\&=\boxed{\,\frac{\ln b-\ln a}{\ln d-\ln c}\,}\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]

________________

Tambahan: Pembuktian dengan cara lain

Coba kita buktikan apakah

[tex]\begin{aligned}{}^{c/d}\log(a/b)={}^{d/c}\log(b/a)\end{aligned}[/tex]

[tex]\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}\\&={}^{c/d}\log(a/b)\\&={}^{(d/c)^{-1}}\log\left[(b/a)^{-1}\right]\\&=\left(\frac{-1}{-1}\right){}^{d/c}\log(b/a)\\&={}^{d/c}\log(b/a)\\&=\textsf{Ruas kanan}\end{aligned}[/tex]

Dengan cara yang sama, pembuktian dari ruas kanan pun akan memberikan hasil sama dengan ruas kiri.

Oleh karena itu, dengan cara penyelesaian soal seperti pada langkah awal jawaban ini, kita akan memperoleh:

[tex]\begin{aligned}{}^{d/c}\log(b/a)&=\frac{\ln b-\ln a}{\ln d-\ln c}\end{aligned}[/tex]