Las parábolas representativas de las funciones f(x) = x2 – 9 y g(x) = 9 – x2 se intersectan en el punto (x, y). ¿Cuál es el valor de x + y, si se sabe que x e y son números NO negativos?
Seleccione una:
A.
-6
B.
-3
C.
0
D.
3
E.
6
Seleccione una:
A.
-6
B.
-3
C.
0
D.
3
E.
6
El valor de x + y es 3
Siendo la opción correcta la D
Solución
Dadas las funciones
[tex]\large\boxed{\bold {f(x)= x^{2} -9 }}[/tex]
y
[tex]\large\boxed{\bold {g(x)= 9-x^{2} =-x^{2} +9 }}[/tex]
Hallamos los puntos de intersección de las dos funciones
Donde ambas son funciones cuadráticas o de segundo grado
Donde la representación gráfica de una ecuación cuadrática será siempre una parábola
[tex]\large\boxed{\bold {f(x)= x^{2} -9 }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {g(x)=-x^{2} +9 }}[/tex]
Igualamos las dos funciones
[tex]\boxed{\bold {f(x)=g(x) }}[/tex]
Para obtener una ecuación cuadrática de la forma
[tex]\bold{ ax^{2} +bx +c}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {x^{2} -9 = -x^{2}+9 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {2x^{2} -9 = 9 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {2x^{2} -9 - 9= 0 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {2x^{2} -18= 0 }}[/tex]
[tex]\large\textsf {Simplificamos dividiendo entre 2 }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {x^{2} -9= 0 }}[/tex]
Dado que no tenemos término en x se tiene una ecuación cuadrática incompleta
[tex]\textsf {Donde a = 1, b = 0 y c = -9 }[/tex]
Donde resolvemos para x
Para hallar el valor de las abscisas de los puntos de intersección de las dos parábolas
[tex]\large\boxed{\bold {x^{2} -9= 0 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {x^{2} = 9 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {x = \pm \sqrt{9} }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {x = \pm \ 3 }}[/tex]
Luego
[tex]\large\boxed{\bold {x_{1} = 3 }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {x_{2} =- 3 }}[/tex]
Habiendo hallado los puntos de intersección en el eje X de las dos funciones cuadráticas
Hallamos los puntos de intersección con el eje Y
[tex]\bold{Reemplazamos \ el \ valor \ de \ x_{1} = 3 \ en }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {f(x)= x^{2} -9 }}[/tex]
[tex]\large\textsf {Para determinar el valor correspondiente para }\ \bold{ y_{1} }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {y_{1} = x^{2} -9 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {y_{1} = (3)^{2} -9 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {y_{1} = 9 -9 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {y_{1} = 0 }}[/tex]
Por lo tanto hemos hallado uno de los puntos de intersección de las dos parábolas
El cual está dado por el par ordenado:
[tex]\large\boxed{\bold {(x_{1} , y_{1} ) = (3 , 0) }}[/tex]
Luego
[tex]\bold{Reemplazamos \ el \ valor \ de \ x_{2} = -3 \ en }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {g(x)=- x^{2} +9 }}[/tex]
[tex]\large\textsf {Para determinar el valor correspondiente para }\ \bold{ y_{2} }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {y_{2} = -x^{2} +9 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {y_{2} = -(-3)^{2} +9 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {y_{2} = -9 +9 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {y_{2} = 0 }}[/tex]
Donde hemos hallado el otro punto de intersección de las dos parábolas
El cual está dado por el par ordenado:
[tex]\large\boxed{\bold {(x_{2} , y_{2} ) = (-3 , 0) }}[/tex]
Concluyendo que ambas funciones cuadráticas se intersecan en los puntos (3, 0) y (-3, 0)
Habiendo determinado los puntos de intersección de las funciones el ejercicio nos pide hallar el valor de x + y, si se sabe que x e y son números NO negativos
Por tanto de las dos intersecciones halladas para las funciones
Tomamos el que contiene el valor positivo
[tex]\large\boxed{\bold {(x_{1} , y_{1} ) = (3 , 0) }}[/tex]
Y efectuamos la sumatoria
[tex]\large\boxed{\bold {(x, y) = (3 , 0) }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {x + y = 3 + 0 }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {x + y = 3 }}[/tex]
Dado que las parábolas que representan a las dos funciones se intersecan en dos puntos, y se pide hallar el valor de x + y siendo x e y números no negativos
El valor de x + y es 3