Question

La suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética es n(3n+1), cualquiera sea "n". Entonces la razón es:

Answer 1

N = 8
Sustituimos la formula para sumar n terminos por el dato que nos dan
sn = ((a1 + an) / 2) * n

n(3n+1) = ((a1 + an) / 2) * n
8(3 * 8 + 1) = ((a1 + an) / 2) * 8
8(25) = ((a1 + an) / 2) * 8
200 * 2 = (a1 + an) * 8
400 / 8 = a1 + an
50 - an = a1
a1 = 50 - an
Ya que sabemos que a1 = 50 - an, sustituyamos la formula general de las progresiones aritmeticas
an = a1 + (n - 1) d
an = (50 - an) + (8 - 1) d
an = 50 - an + 7d
an = 50 - an + 7d
an + an = 50 + 7d
2an = 50 + 7d
an = (50 + 7d) / 2

Ahora sabemos que an = (50 + 7d) / 2
Ahora despejaremos d ya que sabemos dos datos importantes (a1 y an)
a1 = 50 - an 
a1 = 50 - ((50 + 7d) / 2)
a1 * 2 = 50 - 50 + 7d
a1 * 2 = 7d
2a1 / 7 = d
d = 2a1 / 7
Ahora sabemos que d = 2a1 / 7, vamos a sustituir la formula general de las sucesiones aritmeticas para obtener el valor numerico de an 
(50 - an) = a1 + (n - 1) d
(50 + 7((2(50 - an) / 7))) / 2 = (50 - an) + 7 * (2(50 - an) / 7)
Resolvemos .. y nos da:
an = 75 / 2
Ahora sustituimos valores:
a1 = 50 - (75/2)
a1 = 12,5
Ya que sabemos que:
n = 8 (eleccion arbitraria)
a1 = 12,5
an = 37,5
vamos a sustituir los valores en la formula de la suma de terminos de las progresiones aritmeticas:
n(3n + 1) = ((a1 + an) / 2) * n
8(3 * 8 + 1) = ((12,5 + 37,5) / 2) * 8
200 = (50 / 2) * 8
200 = 25 * 8
200 = 200

Entonces ahora estamos seguros de que la igualdad se cumple en este caso, los valores que buscabamos son esos.
Ahora encontremos d:
37,5 = 12,5 + (8 - 1) d
37,5 = 12,5 + 7d
37,5 - 12,5 = 7d
25 = 7d
25 / 7 = d
Veamos ahora, tenemos que a8 = 37,5 comprobemos:
a8 = 12,5 + (8-1) (25 / 7)
a8 = 12,5 + 7(25/7)
a8 = 12,5 + 25
a8 = 37,5
Entonces comprobamos que el valor es correcto, d = 25/7 "d" es la distancia entre terminos de la sucesion y no se si se confunde con "razon" que seriala de una progresion geometrica, pero en este caso ya hemos encontrado la solucion.
De todas formas creo que no entendi quiza el ejercicio, pero segun como lo entendi es correcto.