Question

La potencia de una potencia es igual a la base elevada a la suma de los exponentes

Answer 1

2. Leyes de los exponentesCorresponde a la sesi�n de GA 2.2 A TODA LEYA la operaci�n matem�tica que representa, en forma abreviada, la multiplicaci�n de factores iguales se le llama potenciaci�n.La potenciaci�n, como expresi�n algebraica, la conforman los siguientes elementos:a = basem = exponenteb = potenciaAs� se tiene que:Con base en esta definici�n es posible entender las leyes de los exponentes.Primera ley: Producto de potencias con la misma base.Ejemplo:a� � a�Por la definici�n de potencia se tiene:donde a aparece 5 veces como factor, por lo tanto:a� � a� = a�+�= Al generalizar se afirma que:El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.Segunda ley: Cociente de potencias con la misma baseEjemplo: Por la definici�n de potencia se tiene:Al cancelar factores iguales queda:Al generalizar queda:El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.Obs�rvese ahora el siguiente ejemplo:y se sabe que:Por transitividad:De lo que se concluye que:Todo n�mero exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivoTercera ley: Potencia de una potenciaEjemplo: Por la definici�n de potencia se tiene:Apoy�ndose en la ley 1;Generalizando se tiene que:La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los exponentes.Cuarta ley: Potencia de un productoEjemplo: (ab)�Al aplicar la definici�n de potencia:(ab)� = ab � ab � abAplicando la ley conmutativa:(ab)� = a � a � a � b � b � bY como la potencia es una multiplicaci�n abreviada, queda:a�b�Generalizando, se tiene que:La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factoresQuinta ley: Cuando un cociente se eleva a una potenciaEjemplo: Aplicando la definici�n de potencia:Abreviando la multiplicaci�n de fracciones:Al generalizar se tiene que:Para elevar una fracci�n a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente.Los siguientes casos se deducen de las leyes anteriores. En la divisi�n de potencias de la misma base y exponente se aplica la segunda ley y resulta que:Pero el cociente de la divisi�n (cuando el divisor y dividendo son iguales) es 1, entonces:Por transitividad:a� = 1De donde se generaliza que:Todo n�mero diferente de cero con exponente 0 es igual a 1Si se tiene la expresi�n:Aplicando la definici�n de potencia:Se cancelan los dividendos y divisores iguales y se tiene:Por transitividad:a� =aGeneralizando:Todo n�mero elevado a la primera potencia es igual que ese mismo n�meroMenci�n especial merece el caso de la potenciaci�n con exponente fraccionario.Ejemplo: Si se eleva a la potencia que indica el denominador del exponente resulta que:Por la definici�n:Aplicando la primera ley de los exponentes, se tiene:Por la propiedad transitiva:Si se extrae la ra�z cuadrada a ambos miembros de la igualdad, se tiene:Al eliminarse la ra�z y la potencia (por ser operaciones inversas), se tiene que:Generalizando: