Question

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 cm. Calcula el perímetro si sabes que las midas de los tres costados estan en progresion aritmetica.

Answer 1

Bueno... jejeje... este podría resolverse sin necesidad de acudir a las progresiones ya que si conoces lo que es una "terna" pitagórica ya tienes el resultado.

La terna pitagórica inicial parte de:
Cateto menor = 3
Cateto mayor = 4
Hipotenusa = 5

Según el teorema, se cumple que:
5² = 4²+3² ... ok?

Pues si esa terna (esos tres números) los multiplicas por un mismo número siempre se cumplirá el teorema, siempre, ... es como si amplificaras una fracción donde el valor absoluto de la fracción no varía, aquí pasa lo mismo.

Si la hipotenusa de este ejercicio mide 20, está claro que hemos multiplicado por 4 su medida inicial de 5, por tanto los dos catetos también hay que multiplicarlos por 4 para que siga cumpliéndose la proporción, o sea:

Cateto menor = 3·4 = 12
Cateto mayor = 4·4 = 16

Efectivamente, 12-16-20 forman progresión aritmética pero no lo he solucionado por ese sistema.
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Si lo hago por PA, lo que puedo deducir del enunciado es que esa PA me da estos datos:

⇒ Número de términos de la PA ... n = 3 (pues son tres lados)
⇒ Valor del último término de la PA ... a₃ = 20

Tengo que representar los dos términos que faltan en función del término conocido teniendo en cuenta la diferencia entre términos "d" que desconozco.

Hipotenusa = a₃ = 20
Cateto mayor = a₂ = 20-d
Cateto menor = a₁ = 20-2d

Y ya no puedo aprovecharme de las fórmulas de la PA sino que con esto deducido tengo que recurrir al teorema de Pitágoras y sustituir lo que conozco:

H² = C²+c² ---------> 20² = (20-d)² + (20-2d)² ... resuelvo...
400 = 400 + d² - 40d + 400 + 4d² - 80d 
5d² - 120d + 400 = 0 ... dividiendo todo entre 5...
d² - 24d + 80 = 0

De esta ecuación me salen dos soluciones:
d₁ = 20 ... la cual no me sirve como diferencia entre términos ya que al aplicar esa diferencia al ejercicio me sale un cateto de valor cero y otro de valor -20.
d₂ = 4 ... y esa sí es la diferencia correcta entre términos según ya quedó claro con mi otro procedimiento.

El resultado final es el valor del perímetro: 12+16+20 = 48

Saludos.