La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos (0,0) y (6,0). Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico que se forma con el movimiento del tercer vértice, si se sabe que el producto de las tangentes de los ángulos internos que se forman en la base es de siempre 4. (considere al tercer punto, como un punto general en el plano)
DOYYY CORONITAAAA
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El lugar geométrico de los puntos que satisfacen la condición es la elipse [tex]\frac{y^2}{36}+\frac{(x-3)^2}{9}=1[/tex]
Explicación paso a paso:
Las tangentes de los ángulos que se forman en la base, considerando que el tercer vértice es un punto C(x,y) son:
[tex]tan(\alpha)=\frac{y}{x}\\\\tan(\beta)=\frac{y}{6-x}[/tex]
Entonces, el producto de las tangentes de esos dos ángulos considerando que es igual a 4 es:
[tex]\frac{y}{x}\frac{y}{6-x}=4\\\\\frac{y^2}{x(6-x)}=4\\\\y^2=24x-4x^2[/tex]
Completando cuadrados se llega a que la ecuación obtenida corresponde a una elipse:
[tex]\frac{y^2}{4}-9=6x-x^2-9\\\\\frac{y^2}{4}-9=-(x-3)^2\\\\\frac{y^2}{4}+(x-3)^2=9\\\\\frac{y^2}{36}+\frac{(x-3)^2}{9}=1[/tex]