Kuis Tentukan jumlah semua nilai x real yang memenuhi persamaan di bawah. A. -20B. -14C. -8D. 8E. 12.... Question from @kelvinho018527

Jumlah nilai $x$ real yang memenuhi adalah –8. (opsi C)
 

Pembahasan

$\begin{aligned}&\frac{1}{x^2+2x}+\frac{1}{x^2+6x+8}+\frac{1}{x^2+10x+24}\\&{\qquad=\ }\frac{1}{5}-\frac{1}{x^2+14x+48}\end{aligned}$

$\begin{aligned}{\Rightarrow\ }&\frac{1}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+6)}\\&{\ =\ }\frac{1}{5}-\frac{1}{(x+6)(x+8)}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\rightsquigarrow\textsf{kedua ruas}\times5x(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)\\{\Rightarrow\ }&5(x+4)(x+6)(x+8)+5x(x+6)(x+8)+5x(x+2)(x+8)\\&{\ =\ }x(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)-5x(x+2)(x+4)\end{aligned}$

$\begin{aligned}{\Rightarrow\ }&5(x+6)(x+8)(x+4+x)+5x^3+10x^2+16x\\&{\ =\ }x(x+2)(x+4)\left((x+6)(x+8)-5\right)\end{aligned}$

$\begin{aligned}{\Rightarrow\ }&5\left(x^2+14x+48\right)(2x+4)+5\left(x^3+10x^2+16x\right)\\&{\ =\ }\left(x^3+6x^2+8x\right)\left(x^2+14x+43\right)\end{aligned}$

$\begin{aligned}{\Rightarrow\ }&5\left(2x^3+32x^2+152x+192+x^3+10x^2+16x\right)\\&{\ =\ }x^5+20x^4+135x^3+370x^2+344x\end{aligned}$

$\begin{aligned}{\Rightarrow\ }&15x^3+210x^2+840x+960\\&{\ =\ }x^5+20x^4+135x^3+370x^2+344x\end{aligned}$

$\begin{aligned}{\Rightarrow\ }&x^5+20x^4+120x^3+160x^2-496x-960=0\end{aligned}$

Koefisien $x^5$ = 1, dan konstanta atau koefisien $x^0$ = 960.
$960 = 2^6\times3\times5$ . Jadi, 960 memiliki $7\times2\times2=28$ faktor, dan dengan faktor-faktor negatifnya, 960 memiliki 56 faktor.

Perhatikan bahwa $x\: \not \in\: \{\bf0,\,-2,\,-4,\,-6,\,-8\}$ agar persamaan awal terdefinisi $\forall\,x\in\mathbb{R}$ . Oleh karena itu, pilih $x=2$ , periksa apakah merupakan solusi/akar, jika ya, faktorkan terhadap $(x-2)$ .

$\begin{aligned}&(x=\bf2)\\&2^5+20\cdot2^4+120\cdot2^3+160\cdot2^2-496\cdot2-960\\&=32+320+\cancel{960}+640-992-\cancel{960}\\&=32+320+640-992\\&=32+960-992\\&=0\implies \textsf{$(x-2)$ adalah faktor}\end{aligned}$

$\begin{aligned}0&=x^5+20x^4+120x^3+160x^2-496x-960\\&=(x-2)x^4+22x^4+120x^3+160x^2-496x-960\\&=(x-2)\left(x^4+22x^3\right)+164x^3+160x^2-496x-960\\&=(x-2)\left(x^4+22x^3+164x^2\right)+488x^2-496x-960\\&=(x-2)\left(x^4+22x^3+164x^2+488x\right)+480x-960\\&=(x-2)\left(x^4+22x^3+164x^2+488x+480\right)\end{aligned}$

Kemudian, dari $x^4+22x^3+164x^2+488x+480=0$ , karena $480=2^5\times3\times5$ , maka 480 memiliki $2\times6\times2\times2=48$ faktor. Mengingat $x\: \not \in\: \{0,\,-2,\,-4,\,-6,\,-8\}$ , dan bahwa $-2$ , $-4$ , $-6$ , dan $-8$ adalah faktor-faktor negatif dari 480, kita bisa pilih $x=-10$ .

Periksa dulu apakah benar $-10$ merupakan akar/solusi dari $x^4+22x^3+164x^2+488x+480=0$ . Jika bukan, kita pilih nilai lain.

$\begin{aligned}&(x=\bf{-}10)\\&(-10)^4+22(-10)^3+164(-10)^2+488(-10)+480\\&=10000-22000+16400-4880+480\\&=-12000+16400-4400\\&=-12000+12000\\&=0\implies \textsf{$(x+10)$ adalah faktor}\end{aligned}$

$\begin{aligned}0&=x^4+22x^3+164x^2+488x+480\\&=(x+10)x^3+12x^3+164x^2+488x+480\\&=(x+10)\left(x^3+12x^2\right)+44x^2+488x+480\\&=(x+10)\left(x^3+12x^2+44x\right)+48x+480\\&=(x+10)\left(x^3+12x^2+44x+48\right)\end{aligned}$

Faktor dari 48 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, dan 48. Karena $x^3+12x^2+44x+48$ berderajat 3 dan semua koefisien positif, maka 3 faktor lainnya berbentuk $(x+a)$ , $(x+b)$ , dan $(x+c)$ .
Jadi, kita bisa coba $a=2$ , $b=4$ , dan $c=6$ , karena $2\times4\times6=48$ , juga karena pada proses penyelesaian di atas terdapat faktor-faktor $(x+2)$ , $(x+4)$ , dan $(x+6)$ pada penyebut.

$\begin{aligned}&\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)\\&=x\left(x^2+6x+8\right)+6\left(x^2+6x+8\right)\\&=x^3+6x^2+8x+6x^2+36x+48\\&=x^3+12x^2+44x+48\end{aligned}$

Benar bahwa $(x+2)$ , $(x+4)$ , dan $(x+6)$ adalah 3 faktor lainnya. Dari ketiga faktor ini, $x_1,x_2,x_3\: \in\: \{0,\,-2,\,-4,\,-6,\,-8\}$ , atau dengan kata lain ketiga nilai $x$ membuat persamaan awal menjadi tak terdefinisi, sehingga ketiga nilai $x$ tersebut BUKAN SOLUSI.