Question

Kuis tahun ajaran baru:
Diketahui deret {5, 9, 16, 28, 48, 80, ....}

Tentukan suku keseratus dari deret itu.

Answer 1

Untuk menemukan suku keseratus dari deret tersebut, kita perlu mengidentifikasi pola pertambahan antar suku. Dalam deret yang diberikan, setiap suku ditambahkan dengan suku sebelumnya dan kemudian ditambahkan dengan suatu bilangan bulat yang berurutan (2, 3, 4, 5, dst.).

Mari kita identifikasi polanya:

1. Suku pertama: 5

2. Suku kedua: (5 + 9) + 2 = 16

3. Suku ketiga: (16 + 9) + 3 = 28

4. Suku keempat: (28 + 16) + 4 = 48

5. Suku kelima: (48 + 28) + 5 = 81

Dari pola di atas, kita dapat melihat bahwa selisih antara suku kesatu dengan suku kedua adalah 9 - 5 = 4, selisih antara suku kedua dengan suku ketiga adalah 16 - 9 = 7, dan selisih antara suku ketiga dengan suku keempat adalah 28 - 16 = 12. Jadi, setiap selisih antara suku berturut-turut bertambah 3.

Kemudian, kita dapat menemukan pola untuk bilangan bulat yang ditambahkan setiap kali:

1. 2 (untuk selisih pertama)

2. 3 (untuk selisih kedua, ditambah 1 dari selisih pertama)

3. 4 (untuk selisih ketiga, ditambah 1 dari selisih kedua)

4. 5 (untuk selisih keempat, ditambah 1 dari selisih ketiga)

Dari pola tersebut, kita dapat menghitung suku keseratus:

• Suku keseratus = (suku ke-100) + 99
• Suku ke-100 = (suku ke-99) + 98
• Suku ke-99 = (suku ke-98) + 97

...

• Suku ke-2 = (suku ke-1) + 1

Kita sudah tahu suku pertama (suku ke-1 = 5) dan kita sudah mengidentifikasi pola pertambahan (selisih bertambah 3 setiap kali) dan pola bilangan bulat yang ditambahkan (ditambah 1 setiap kali). Sekarang kita bisa menghitung suku keseratus:

• Suku ke-100 = (suku ke-1) + 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98
• Suku ke-100 = 5 + (1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98)

Kita tahu bahwa jumlah bilangan bulat dari 1 hingga n adalah n(n+1)/2. Dengan demikian, jumlah bilangan bulat dari 1 hingga 98 adalah 98(98+1)/2 = 98(99)/2 = 4851.

Jadi, suku keseratus dari deret tersebut adalah:

Suku keseratus = 5 + 4851 = 4856