Kuis ₍₁₂₂₎ : Pilihan ganda (trigonometri)
Perhatikan gambar segitiga sembarang berikut. Pernyataan
yang salah tentang segitiga ini adalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a.) acm + adm − bdn = 0
(b.) acq − adp − bdp = 0
(c.) a²d+2abd+b²d+cr²-c²d-cd²−cm²−dm²−2cmn−2dmn−cn²−dn² = 0
(d.) n²p + n²q − pr² − a²q + p²q + pq² = 0
(e.) dm² + cm² − cp² − 2cpq − cq² − b²d + c²d + cd² = 0
Perhatikan gambar segitiga sembarang berikut. Pernyataan
yang salah tentang segitiga ini adalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a.) acm + adm − bdn = 0
(b.) acq − adp − bdp = 0
(c.) a²d+2abd+b²d+cr²-c²d-cd²−cm²−dm²−2cmn−2dmn−cn²−dn² = 0
(d.) n²p + n²q − pr² − a²q + p²q + pq² = 0
(e.) dm² + cm² − cp² − 2cpq − cq² − b²d + c²d + cd² = 0
Pernyataan yang salah adalah pernyataan (e).
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Untuk mencari pernyataan yang benar, kita akan menggunakan teorema Ceva dan teorema Stewart.
Teorema Ceva
Dari gambar yang diberikan, jika kita tarik garis lurus dari titik sudut paling kiri (antara ruas garis b dan c) hingga menyentuh sisi r dan memotong titik potong antara ruas garis (m+n) dan (p+q) sedemikian rupa sehingga garis lurus tersebut membagi sisi r menjadi ruas garis e dan f dengan r = e + f, berlaku:
[tex]\begin{aligned}\bullet\ \:&\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\cdot\frac{e}{f}=1\\\vphantom{\bigg|}\bullet\ \:&\frac{n}{m}=\frac{a}{b}+\frac{f}{e}\\\bullet\ \:&\frac{q}{p}=\frac{e}{f}+\frac{d}{c}\\\end{aligned}[/tex]
Teorema Stewart
Ruas garis cevian ditunjukkan oleh garis (m+n), (p+q), dan n (untuk sub-segitiga kecil pada bagian kanan atas) pada gambar. Berdasarkan gambar yang diberikan, teorema Stewart menyatakan hubungan berikut ini.
(a + b)²d + r²c = (c + d)·[(m + n)² + cd]
(c + d)²a + r²b = (a + b)·[(p + q)² + ab]
a²q + r²p = (p + q)(n² + pq)
_____________
(a.) acm + adm − bdn = 0
Berdasarkan teorema Ceva:
[tex]\begin{aligned}&\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\cdot\frac{e}{f}=1\\&\Rightarrow \frac{f}{e}=\frac{ac}{bd}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}\frac{n}{m}&=\frac{a}{b}+\frac{f}{e}=\frac{a}{b}+\frac{ac}{bd}\\\vphantom{\bigg|}\frac{n}{m}&=\frac{ad+ac}{bd}\\\Rightarrow\ &(ad+ac)m=bdn\\\Rightarrow\ &acm+adm-bdn=0\end{aligned}[/tex]
Oleh karena itu, pernyataan (a.) benar.
_____________
(b.) acq − adp − bdp = 0
Berdasarkan teorema Ceva:
[tex]\begin{aligned}&\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\cdot\frac{e}{f}=1\\&\Rightarrow \frac{e}{f}=\frac{bd}{ac}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}\frac{q}{p}&=\frac{e}{f}+\frac{d}{c}=\frac{bd}{ac}+\frac{d}{c}\\\vphantom{\bigg|}\frac{q}{p}&=\frac{bd+ad}{ac}\\\Rightarrow\ &(bd+ad)p=acq\\\Rightarrow\ &acq-adp-bdp=0\end{aligned}[/tex]
Oleh karena itu, pernyataan (b.) benar.
_____________
(c.) a²d + 2abd + b²d + cr² – c²d – cd² – cm² − dm² − 2cmn − 2dmn − cn² − dn² = 0
⇒ a²d + 2abd + b²d + cr² = c²d + cd² + cm² + dm² + 2cmn + 2dmn + cn² + dn²
⇒ (a + b)²d + r²c = cm² + 2cmn + cn² + c²d + dm² + 2dmn + dn² + cd²
⇒ (a + b)²d + r²c = c(m² + 2mn + n² + cd) + d(m² + mn + n² + cd)
⇒ (a + b)²d + r²c = (c + d)(m² + 2mn + n² + cd)
⇒ (a + b)²d + r²c = (c + d)·[(m + n)² + cd]
⇒ Berdasarkan teorema Stewart, persamaan tersebut berlaku untuk segitiga dengan panjang sisi (a+b, c+d, r), dengan ruas garis cevian (m+n) yang membagi sisi (c+d) menjadi c dan d.
⇒ Pernyataan (c) benar, karena sesuai dengan segitiga besar (utama).
_____________
(d.) n²p + n²q − pr² − a²q + p²q + pq² = 0
⇒ n²(p + q) + pq(p + q) = pr² + a²q
⇒ (p + q)(n² + pq) = a²q + r²p
⇒ Berdasarkan teorema Stewart, persamaan tersebut berlaku untuk segitiga dengan panjang sisi (a, p+q, r), dengan ruas garis cevian n yang membagi sisi (p+q) menjadi p dan q.
⇒ Pernyataan (d) benar, karena sesuai dengan sub-segitiga kecil bagian kanan atas.
_____________
(e.) dm² + cm² − cp² − 2cpq − cq² − b²d + c²d + cd² = 0
⇒ dm² + cm² + c²d + cd² = cp² + 2cpq + cq² + b²d
⇒ m²(c + d) + cd(c + d) = c(p + q)² + b²d
⇒ (c + d)(m² + cd) = (p + q)²c + b²d
⇒ Berdasarkan teorema Stewart, persamaan tersebut berlaku untuk segitiga dengan panjang sisi (b, c+d, p+q), dengan ruas garis cevian m yang membagi sisi (c + d) menjadi c dan d.
⇒ Pernyataan (e) salah, karena ruas garis m bukan ruas garis cevian [tidak menghubungkan sisi (c+d) dengan titik potong sisi b dan (p+q)].
_____________
KESIMPULAN
∴ Pernyataan yang salah adalah pernyataan (e).
[tex]\blacksquare[/tex]