Question

Kuis
Misalkan saya ingin membuktikan suatu pernyataan berlaku untuk setiap n bilangan genap. Jadi, saya melakukan induksi matematika yang dimodifikasi:
-> cek n= 0
-> asumsikan n= k benar dan buktikan benar untuk setiap n= k+2.

Apakah langkah saya sudah tepat? Jelaskan. ​

Answer 1

Verified answer

• Langkah penetapan [tex]n = 0[/tex] pada tahap basis induksi, dan [tex]n = k + 2[/tex] untuk pembuktian pada tahap langkah induksi, sudah tepat.
• Yang kurang tepat adalah domain di mana pernyataan berlaku.

 

Penjelasan

Domain dan Basis Induksi

Menurut saya, domain perlu dibatasi, karena jika [tex]n[/tex] bilangan genap, maka [tex]n[/tex] ∈ ℤ dengan [tex]n\ {\rm mod}\ 2=0[/tex]. Sedangkan interval ℤ adalah (–∞, ∞).

Karena intervalnya terbuka, kita tidak dapat menetapkan bilangan basis [tex]n[/tex] pada tahap pembuktian basis induksi. Basis induksi memerlukan bilangan “basis“, yang merupakan bilangan terkecil (atau terbesar) pada domain [tex]n[/tex].

Dalam hal ini, basis induksi yang telah ditetapkan adalah [tex]n = 0[/tex]. Maka, [tex]n[/tex] ∈ bilangan genap tak-negatif.

Langkah Induksi

Langkah induksi ingin membuktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk sebuah bilangan yang merupakan hasil inkrementasi (atau dekrementasi jika menurun), dengan selisih sesuai spesifikasi himpunan bilangan yang dibicarakan, dari sebuah bilangan [tex]k[/tex] yang dipilih secara acak, dan sebelumnya sudah diasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk [tex]n = k[/tex].

• Jika domain atau himpunan bilangan yang diuji adalah bilangan asli, maka [tex]n = k + 1[/tex].
• Untuk domain bilangan genap atau ganjil (kita kesampingkan batasnya), penetapan [tex]n = k + 2[/tex] pada langkah induksi sudah benar. Barisan aritmatika bilangan genap atau ganjil memiliki beda/selisih antarsuku = 2. Bilangan bulat [tex](k + 2)[/tex] adalah bilangan genap (atau ganjil) berikutnya setelah bilangan genap (atau ganjil) [tex]k[/tex].

Contoh Kasus

Kita akan membuktikan dengan induksi matematika bahwa
[tex]\begin{aligned}0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + n^2 = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}\end{aligned}[/tex]
untuk setiap bilangan genap tak-negatif n.

Cara Pembuktian 1 (seperti yang dinyatakan oleh soal)

Langkah 1: Basis Induksi

Untuk [tex]n = 0[/tex], [tex]0^2=(0\cdot1\cdot2)/6[/tex] merupakan pernyataan yang benar.

Langkah 2: Asumsi/Hipotesis

Untuk [tex]n = k[/tex] di mana [tex]k[/tex] adalah sembarang bilangan genap tak-negatif, diandaikan persamaan tersebut benar, yaitu

[tex]\begin{aligned}0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + k^2 = \frac{k(k+1)(k+2)}{6}\end{aligned}[/tex]

Langkah 3: Langkah Induksi

Akan ditunjukkan bahwa persamaan tersebut benar pula untuk [tex]n=k+2[/tex], yaitu

[tex]\begin{aligned}0^2+2^2+4^2+{\dots}+k^2+(k+2)^2=\frac{(k+2)(k+3)(k+4)}{6}\end{aligned}[/tex]

[tex]\begin{aligned}&{\sf Ruas\ kiri}\\&{=\ }0^2+2^2+4^2+{\dots}+k^2+(k+2)^2\\&{=\ }\frac{k(k+1)(k+2)}{6}+(k+2)^2\\&{=\ }\frac{k(k+1)(k+2)+6(k+2)^2}{6}\\&{=\ }\frac{(k+2)\left(k(k+1)+6(k+2)\right)}{6}\\&{=\ }\frac{(k+2)\left(k^2+k+6k+12\right)}{6}\\&{=\ }\frac{(k+2)\left(k^2+7k+12\right)}{6}\\&{=\ }\frac{(k+2)(k+3)(k+4)}{6}\\&{=\ }{\sf Ruas\ kanan}\end{aligned}[/tex]

Ruas kiri = ruas kanan, maka persamaan tersebut benar pula untuk [tex]n = k + 2[/tex].

Kesimpulan
[tex]\begin{aligned}0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + n^2 = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}\end{aligned}[/tex]
untuk setiap bilangan genap tak-negatif [tex]n[/tex].
[tex]\blacksquare[/tex]

Cara Pembuktian 2

Langkah 0: Persiapan

Jika [tex]n[/tex] adalah bilangan genap tak-negatif, maka terdapat bilangan cacah m di mana [tex]n = 2m[/tex]. Sehingga, persamaan yang ingin dibuktikan ekuivalen dengan:

[tex]\begin{aligned}&0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + (2m)^2 = \frac{2m(2m + 1)(2m + 2)}{6}\\&\Rightarrow \boxed{0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + (2m)^2=\frac{2m(m + 1)(2m + 1)}{3}}\\\end{aligned}[/tex]

Langkah 1: Basis Induksi

Untuk [tex]m = 0[/tex], [tex]0^2=(0\cdot1\cdot1)/3[/tex] merupakan pernyataan yang benar.

Langkah 2: Asumsi/Hipotesis

Untuk [tex]m = k[/tex] di mana [tex]k[/tex] adalah sembarang bilangan cacah, diandaikan persamaan tersebut benar, yaitu

[tex]\begin{aligned}0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + (2k)^2=\frac{2k(k+1)(2k+1)}{3}\end{aligned}[/tex]

Langkah 3: Langkah Induksi

Akan ditunjukkan bahwa persamaan tersebut benar pula untuk [tex]m=k+1[/tex], yaitu

[tex]\begin{aligned}0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + (2k)^2+\left(2(k+1)\right)^2=\frac{2(k+1)(k+2)(2k+3)}{3}\end{aligned}[/tex]

[tex]\begin{aligned}&{\sf Ruas\ kiri}\\&{=\ }0^2+2^2+4^2+{\dots}+(2k)^2+\left(2(k+1)\right)^2\\&{=\ }\frac{2k(k+1)(2k+1)}{3}+\left(2(k+1)\right)^2\\&{=\ }\frac{2k(k+1)(2k+1)}{3}+4(k+1)^2\\&{=\ }\frac{2k(k+1)(2k+1)+12(k+1)^2}{3}\\&{=\ }\frac{(k+1)\left(2k(2k+1)+12(k+1)\right)}{3}\\&{=\ }\frac{(k+1)\left(4k^2+2k+12k+12\right)}{3}\\&{=\ }\frac{(k+1)\left(4k^2+14k+12\right)}{3}\\&{=\ }\frac{(k+1)(2k+4)(2k+3)}{3}\\&{=\ }\frac{(k+1)\left(2(k+2)\right)(2k+3)}{3}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&{=\ }\frac{2(k+1)(k+2)(2k+3)}{3}\\&{=\ }\sf Ruas\ kanan\end{aligned}[/tex]

Ruas kiri = ruas kanan, maka persamaan tersebut benar pula untuk [tex]m = k + 1[/tex] berdasarkan asumsi untuk .

Sehingga, persamaan awal untuk [tex]n = 2m[/tex] di mana [tex]n[/tex] adalah bilangan genap tak-negatif, juga benar.
[tex]\blacksquare[/tex]