Kuis
Kita tahu bahwa:
(f(x) . g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
a.
Tentukanlah turunan dari fungsi I(x)= f(x) . g(x) . h(x). Asumsikan semua fungsi dapat didiferensialkan dan memiliki domain pada himpunan bilangan nyata (R).
b.
Buktikanlah bahwa untuk fungsi:
n(x)= f₁(x) . f₂(x) . ..... . fₙ₋₁ . fₙ:
Semua turunan faktor dari n(x), yaitu f₁'(x), f₂'(x),.., fₙ'(x) muncul pada turunan fungsi n(x).
Gunakan asumsi yang sama dari bagian a.
Kita tahu bahwa:
(f(x) . g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
a.
Tentukanlah turunan dari fungsi I(x)= f(x) . g(x) . h(x). Asumsikan semua fungsi dapat didiferensialkan dan memiliki domain pada himpunan bilangan nyata (R).
b.
Buktikanlah bahwa untuk fungsi:
n(x)= f₁(x) . f₂(x) . ..... . fₙ₋₁ . fₙ:
Semua turunan faktor dari n(x), yaitu f₁'(x), f₂'(x),.., fₙ'(x) muncul pada turunan fungsi n(x).
Gunakan asumsi yang sama dari bagian a.
Jawaban:
a. Untuk mencari turunan dari fungsi I(x) = f(x) . g(x) . h(x), kita dapat menggunakan aturan perkalian dan aturan rantai dalam diferensiasi.
Misalkan f(x), g(x), dan h(x) adalah fungsi yang dapat didiferensialkan.
Dengan aturan perkalian, kita dapat menulis:
I(x) = f(x) . g(x) . h(x)
I'(x) = (f(x) . g(x))' . h(x) + f(x) . (g(x) . h(x))'
Menggunakan aturan rantai, kita dapat menentukan turunan dari masing-masing bagian:
I'(x) = (f'(x)g(x) + f(x)g'(x)) . h(x) + f(x) . (g'(x)h(x) + g(x)h'(x))
Dengan menyederhanakan ekspresi di atas, kita dapatkan:
I'(x) = f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x)
Jadi, turunan dari fungsi I(x) = f(x) . g(x) . h(x) adalah:
I'(x) = f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x)
b. Untuk membuktikan bahwa semua turunan faktor dari n(x) = f₁(x) . f₂(x) . ... . fₙ₋₁(x) . fₙ(x) muncul pada turunan fungsi n(x), kita akan menggunakan induksi matematika.
Pertama, kita lihat untuk n = 2. Dalam kasus ini, kita memiliki:
n(x) = f₁(x) . f₂(x)
Turunan dari n(x) adalah:
n'(x) = f₁'(x) . f₂(x) + f₁(x) . f₂'(x)
Kita melihat bahwa f₁'(x) dan f₂'(x) muncul dalam turunan n(x).
Selanjutnya, kita asumsikan pernyataan ini benar untuk n = k, yaitu:
n(x) = f₁(x) . f₂(x) . ... . fₖ₋₁(x) . fₖ(x)
n'(x) = f₁'(x) . f₂(x) . ... . fₖ₋₁(x) . fₖ(x) + f₁(x) . f₂'(x) . ... . fₖ₋₁(x) . fₖ(x) + ... + f₁(x) . f₂(x) . ... . fₖ₋₁'(x) . fₖ(x) + f₁(x) . f₂(x) . ... . fₖ₋₁(x) . fₖ'(x)
Kita ingin membuktikan bahwa pernyataan ini juga benar untuk n = k+1.
Dalam kasus ini, kita memiliki:
n(x) = f₁(x) . f₂(x) . ... . fₖ₋₁(x) . fₖ(x) . fₖ₊₁(x)
Turunan dari n(x) adalah:
n'(x) = (f₁'(x) . f₂(x) . ... . fₖ₋₁(x) . fₖ(x) + f₁(x) . f₂'(x) . ...