Question

Która liczba jest najwieksza?pierwiastek z 2, pierwiastek 3 stopnia z 4,pierwiastek 5 stopnia z 8,pierwiastek 7 stopnia z 16 (proszę o wytłumaczenie w jaki sposób sprawdzić który z tych pierwiastków jest największy)

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Mamy takie liczby:

[tex]\sqrt{2} , \sqrt[3]{4}, \sqrt[5]{8}, \sqrt[7]{16} \\\\[/tex]

dla każdej z nich możemy zapisać liczbę pod pierwiastkiem jako potęgę dwójki:

[tex]\sqrt{2} = \sqrt{2^1} \\\\\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2}\\\\\sqrt[5]{8} = \sqrt[5]{2^3}\\\\\sqrt[7]{16} = \sqrt[7]{2^4} \\\\[/tex]

teraz możemy zamienić pierwiastek na potęgę:

[tex]\sqrt{2^1} = 2^{\frac{1}{2} }\\\\\sqrt[3]{2^2} = (2^2)^{\frac{1}{3} } = 2^{\frac{2}{3} } \\\\\sqrt[5]{2^3} = (2^3)^{\frac{1}{5} } = 2^{\frac{3}{5} }\\\\\sqrt[7]{2^4} = (2^4)^{\frac{1}{7} } = 2^{\frac{7}{4} }\\\\[/tex]

każda z tych liczb ma w podstawie dwójkę. Wystarczy porównać wykładniki aby sprawdzić, która z nich jest największa.

Gdy 2 liczby mają taką samą podstawę, większa jest ta, która ma większy wykładnik:

[tex]\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7} \\\\\frac{105}{210} , \frac{140}{210} , \frac{126}{210} , \frac{120}{210}\\\\[/tex]

największy z nich to [tex]\frac{140}{210} = \frac{2}{3} \\\\[/tex], więc największy z tych pierwiastków to [tex]\sqrt[3]{4}\\\\[/tex]