Przypomnijmy również podstawowe własności trygonometryczne:
[tex]\boxed{\begin{array}{ll}\text{Jedynka trygonometryczna:}&sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\\\text{Wzory na tangens:}&tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\&tg\alpha\cdot ctg\alpha=1\\\\&tg\alpha=\dfrac1{ctg\alpha}\\\\\text{Wzory na cotangens:}&ctg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\\\\&ctg\alpha\cdot tg\alpha=1\\\\&ctg\alpha=\dfrac1{tg\alpha}\end{array}}[/tex]
Rozwiązanie:
Z treści zadania wiemy, że α∈(0°; 90°). Zadanie polega na obliczeniu wartości danego wyrażenia wiedząc, że: tgα+ctgα=3
a)
Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia [tex]sin\alpha cos\alpha[/tex]
Podaną równość z treści zadania przekształcamy z wykorzystaniem wzoru na tangens i cotangens:
Verified answer
[tex]\boxed{\begin{array}{llll}a)&sin\alpha cos\alpha=\dfrac13,&b)&sin\alpha+cos\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}3\\\\c)&tg^2\alpha+ctg^2\alpha=7,&d)&tg^3\alpha+ctg^3\alpha=18\\\\e)&tg^4\alpha+ctg^4\alpha=47,&f)&\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha}=\sqrt{5}\end{array}}[/tex]
Funkcje trygonometryczne kątów ostrych
Jeżeli kąt α jest ostry, to wszystkie funkcje trygonometryczne tego kąta są dodatnie.
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{cc}\multicolumn{2}{c}{\alpha\in(0^\circ; 90^\circ)}\\\\sin\alpha > 0,&cos\alpha > 0\\\\tg\alpha > 0,&ctg\alpha > 0\end{array}}[/tex]
Przypomnijmy również podstawowe własności trygonometryczne:
[tex]\boxed{\begin{array}{ll}\text{Jedynka trygonometryczna:}&sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\\\text{Wzory na tangens:}&tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\&tg\alpha\cdot ctg\alpha=1\\\\&tg\alpha=\dfrac1{ctg\alpha}\\\\\text{Wzory na cotangens:}&ctg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\\\\&ctg\alpha\cdot tg\alpha=1\\\\&ctg\alpha=\dfrac1{tg\alpha}\end{array}}[/tex]
Rozwiązanie:
Z treści zadania wiemy, że α∈(0°; 90°). Zadanie polega na obliczeniu wartości danego wyrażenia wiedząc, że: tgα+ctgα=3
a)
Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia [tex]sin\alpha cos\alpha[/tex]
Podaną równość z treści zadania przekształcamy z wykorzystaniem wzoru na tangens i cotangens:
[tex]tg\alpha+ctg\alpha=3\\\\\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}+\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}=3[/tex]
Sprowadzamy równanie do wspólnego mianownika:
[tex]\dfrac{sin^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha}+\dfrac{cos^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha}=3[/tex]
Korzystamy z Jedynki Trygonometrycznej:
[tex]\begin{array}{lll}\dfrac{1}{sin\alpha cos\alpha}=3&|&\cdot sin\alpha cos\alpha\\\\3sin\alpha cos\alpha=1&|&:3\\\\\boxed{\bold{sin\alpha cos\alpha=\dfrac13}}\end{array}[/tex]
b)
Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia [tex]sin\alpha + cos\alpha[/tex]
Korzystamy z własności z poprzedniego przykladu:
[tex]sin\alpha cos\alpha=\dfrac13[/tex]
Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
[tex](sin\alpha + cos\alpha)^2=sin^2\alpha+2sin\alpha cos\alpha+cos^2\alpha=1+2sin\alpha cos\alpha[/tex]
Na tym etapie możemy podstawić wartość wyrażenia z poprzedniego zadania:
[tex](sin\alpha+cos\alpha)^2=1+2\cdot \dfrac13\\\\(sin\alpha + cos\alpha)^2=1+\dfrac23\\\\(sin\alpha + cos\alpha)^2=\dfrac53[/tex]
Aby uzyskać wartość sumy funkcji sinus i cosinus, pierwiastkujemy obustronnie nasze równanie:
[tex]sin\alpha + cos\alpha=\sqrt{\dfrac53}\\\\sin\alpha+cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}\cdot \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}\\\\\boxed{\bold{sin\alpha+cos\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}3}}[/tex]
c)
Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia [tex]tg^2\alpha+ctg^2\alpha[/tex]
Obliczmy kwadrat wyrażenia z zadania:
[tex](tg\alpha+ctg\alpha)^3=3^2\\\\tg^2\alpha+ctg^2\alpha+2tg\alpha ctg\alpha=9[/tex]
Wiemy, że iloczyn funkcji tangens i cotangens jest równy 1, zatem:
[tex]tg^2\alpha+ctg^2\alpha+2\cdot 1=9\\\\tg^2\alpha+ctg^2\alpha=9-2\\\\[/tex]
[tex]\boxed{\bold{tg^2\alpha+ctg^2\alpha=7}}[/tex]
d)
Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia [tex]tg^3\alpha+ctg^3\alpha[/tex]
Skorzystamy ze wzoru na sumę sześcianów:
[tex]tg^3\alpha+ctg^3\alpha=(tg\alpha+ctg\alpha)(tg^2\alpha-tg\alpha ctg\alpha+ctg^2\alpha)[/tex]
Podstawiamy wartość wyrażenia z treści zadania oraz z poprzedniego przykładu:
[tex](tg\alpha+ctg\alpha)(tg^2\alpha-tg\alpha ctg\alpha+ctg^2\alpha)=3(7-tg\alpha ctg\alpha)[/tex]
Wiemy również, że iloczyn funkcji tangens i cotangens jest równy 1:
[tex]3(7-1)=3\cdot 6 = \underline{\bold{18}}[/tex]
Zatem:
[tex]\boxed{\bold{tg^3\alpha+ctg^3\alpha=18}}[/tex]
e)
Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia [tex]tg^4\alpha+ctg^4\alpha[/tex]
Rozwijamy kwadrat sumy kwadratów funkcji tangens i cotangens:
[tex](tg^2\alpha+ctg^2\alpha)^2=7^2\\\\tg^4\alpha+2tg^2\alpha ctg^2\alpha+ctg^4\alpha=49\\\\tg^4\alpha+ctg^4\alpha+2(tg\alpha ctg\alpha)^2=49[/tex]
Wyznaczamy wartość szukanego wyrażenia:
[tex]tg^4\alpha+ctg^4\alpha=49-2(tg\alpha ctg\alpha)^2\\\\tg^4\alpha+ctg^4\alpha=49-2\cdot 1^2\\\\tg^4\alpha + ctg^4\alpha=49-2\\\\\boxed{\bold{tg^4\alpha+ctg^4\alpha=47}}[/tex]
f)
Zadanie polega na obliczeniu wartości wyrażenia [tex]\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha}[/tex]
Podnosimy całe wyrażenie do kwadratu:
[tex](\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha})^2=tg\alpha+2\sqrt{tg\alpha}\cdot \sqrt{ctg\alpha}+ctg\alpha\\\\(\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha})^2=tg\alpha+ctg\alpha+2\sqrt{tg\alpha ctg\alpha}\\\\(\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha})^2=tg\alpha+ctg\alpha+2\cdot \sqrt1\\\\(\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha}})^2=tg\alpha+ctg\alpha+2[/tex]
Z treści zadania znamy wartość sumy funkcji tangens i cotangens:
[tex](\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha})^2=3+2\\\\(\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha})^2=5[/tex]
Pozostało nam jedynie spierwiastkować obie strony równania:
[tex]\boxed{\bold{\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha}=\sqrt5}}[/tex]