Question

Kąt między ramionami w trójkącie równoramiennym ma miarę 45°. Pole tego trójkąta jest równe 18√2. Oblicz długości ramion.
PROSZĘ O SZYBKĄ ODPOWIEDZ DAJE NAJ!!!

Answer 1

Witaj :)

  Naszym zadaniem jest obliczenie długości ramion w trójkącie równoramiennym, jeżeli znamy jego pole oraz kąt między ramionami.

Trójkąt równoramienny

  Trójkąt równoramienny to taki rodzaj trójkąta, w którym ramiona mają jednakowe długości oraz kąty przy podstawie mają równe miary.

Pole trójkąta wykorzystujące kąt między bokami

  Jeżeli mamy dane długości dwóch boków trójkąta oraz wartość kąta między tymi bokami, to pole trójkąta jest równe połowie iloczynów długości tych boków oraz sinusa kąta między tymi bokami.

                                 [tex]\Large \boxed{P_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}ab\sin \alpha }[/tex]  

gdzie:

a, b - długości boków trójkąta,

α - miara kąta między bokami a i b.

OBLICZENIA

Dane:

[tex]P_{\Delta ABC}= 18\sqrt{2}\\\alpha=45^\circ[/tex]

Szukane:

[tex]a\ - dlugosc\ ramion \ trojkata\ rownoramiennego[/tex]

• Zapisujemy wzór na pole trójkąta, uwzględniając fakt, że ramiona mają jednakowe długości

[tex]P_{\Delta ABC}= \frac{1}{2}ab\sin\alpha,\ \ ale \ \ \ a=b\\\\ P_{\Delta ABC}= \frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot \sin\alpha\\ \\\boxed{P_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}a^2\sin \alpha}[/tex]

• Podstawiamy dane i obliczamy długość ramion "a"

[tex]P_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \sin 45^\circ} \ \wedge \ \ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\implies odczytane\ z\ tablic\\ \\18\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ 18\sqrt{2}=\frac{a^2\cdot \sqrt{2}}{4}\ /\cdot 4\\ \\72\sqrt{2}=a^2\sqrt{2}\ / : \sqrt{2}\\\\72=a^2/ \sqrt{...}\\\\a=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{2}\\\\\boxed{a=6\sqrt{2}\implies szukana\ dlugosc\ ramion}\\\\lub\\\\a^2=72\implies a=-\sqrt{72}=-6\sqrt{2},\ odrzucamy\ wynik\ ujemny[/tex]

Odpowiedź.: Długość ramion tego trójkąta to 6√2.

Answer 2

Szczegółowe wyjaśnienie:

Niech x oznacza długość ramienia trójkąta równoramiennego.

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie (czyli między ramionami) są równe, więc każdy z nich ma miarę 45°. Ponadto, kąt przy wierzchołku ma miarę 90°, ponieważ jest to trójkąt prostokątny (jeden z kątów jest prosty, a sumą kątów w trójkącie jest 180°).

Aby obliczyć długości ramion, możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Zastosujmy je do trójkąta prostokątnego utworzonego przez jedno z ramion, półosią i linię prostopadłą do ramienia:

x² = (1/2x)² + (1/2x)²

x² = 1/4 x² + 1/4 x²

x² = 1/2 x²

x = √2/2 x

Teraz możemy obliczyć pole trójkąta równoramiennego:

P = (1/2) x² sin 45°

P = (1/2) x² (1/√2)

P = 1/4 x² √2

P = 18√2

Podstawiając wcześniej obliczoną długość ramienia, mamy:

1/4 x² √2 = 18√2

x² = 72

x = √72 = 6√2

Zatem długości ramion trójkąta równoramiennego wynoszą 6√2.