Question

Kąt α jest ostry i tg α = 2. Oblicz wartość wyrażenia 2 cos²α - 1​

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

                    [tex]\huge\boxed {\huge\boxed {~~2cos^{2}\alpha -1=-\frac{3}{5} ~~}}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Korzystamy ze wzorów:

• [tex]sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1[/tex]
• [tex]tg\alpha =\dfrac{sin\alpha }{cos\alpha }[/tex]

Rozwiązanie:

dane z treści zadania:

• [tex]\alpha ~~\Rightarrow[/tex] kąt ostry
• [tex]tg\alpha =2[/tex]

szukane:

• [tex]2cos^{2}\alpha -1=?[/tex]

[tex]tg\alpha =\dfrac{sin\alpha }{cos\alpha } ~~\land~~tg\alpha =2\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow\\\\\dfrac{sin\alpha }{cos\alpha } =2~~\mid \cdot cos\alpha \\\\\boxed {~~sin\alpha =2cos\alpha ~~}\\\\sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1~~\land~~sin\alpha =2cos\alpha \\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow\\\\(2cos\alpha )^{2}+cos^{2}\alpha =1\\\\4cos^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1\\\\5cos^{2}\alpha =1~~\mid \div 5\\\\\boxed {~~cos^{2}\alpha =\dfrac{1}{5} ~~}[/tex]

• obliczamy wartość szukanego wyrażenia.

[tex]2cos^{2}\alpha -1=?~~\land~~cos^{2}\alpha =\dfrac{1}{5}\\ \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow \\\\2\cdot \dfrac{1}{5} -1=\dfrac{2}{5} -1=\dfrac{2}{5} -\dfrac{5}{5} =-\dfrac{3}{5}[/tex]