Question

Kąt a spełnia warunek tga + ctga = 4. Oblicz wartość wyrażenia tg4 a + ctg4a​

Answer 1

Odpowiedź:

tg(2a) = 2tg(a)/(1 - tg^2(a))

Zadanie można rozwiązać w następujący sposób:

1. Mnożymy równanie tg(a) + ctg(a) = 4 przez 2, aby pozbyć się ułamka w wyrażeniu tg(2a):

2 * (tg(a) + ctg(a)) = 2 * 4

2tg(a) + 2ctg(a) = 8

2. Podstawiamy przekształcone wyrażenie tg(2a) do równania:

2 * (2tg(a)/(1 - tg^2(a))) + 2ctg(a) = 8

4tg(a)/(1 - tg^2(a)) + 2ctg(a) = 8

3. Przekształcamy wyrażenie na wspólny mianownik:

(4tg(a) + 2ctg(a)(1 - tg^2(a)))/(1 - tg^2(a)) = 8

4tg(a) + 2ctg(a)(1 - tg^2(a)) = 8(1 - tg^2(a))

4tg(a) + 2ctg(a) - 2ctg^3(a) = 8 - 8tg^2(a)

4tg(a) - 2ctg^3(a) + 2ctg(a) = 8 - 8tg^2(a)

4tg(a) - 2ctg^3(a) + 2ctg(a) + 8tg^2(a) - 8 = 0

4tg(a) + 2ctg(a)tg^2(a) - 2ctg^3(a) - 8 = 0

4tg(a) + 2ctg(a)tg^2(a) - 2ctg^3(a) = 8

4. Podstawiamy wartość tg(a) + ctg(a) = 4, która jest podana w treści zadania:

4 + 2tg(a)ctg(a) - 2ctg^3(a) = 8

2tg(a)ctg(a) - 2ctg^3(a) = 4

5. W końcu podstawiamy wartość wyrażenia tg(4a) + ctg(4a) z powrotem:

tg(4a) + ctg(4a) = 2(tg(2a) + ctg(2a))

tg(4a) + ctg(4a) = 2(4tg(a) + ctg(a)tg^2(a))

tg(4a) + ctg(4a) = 2(4 + tg(a)tg^2(a))

tg(4a) + ctg(4a) = 8 + 2tg(a)tg^2(a)

6. Podstawiamy wartość 2tg(a)ctg(a) - 2ctg^3(a) = 4 z kroku 4:

tg(4a) + ctg(4a)