Korzystając z prawa Biota-Sovarta obliczyć wektor indukcji magnetycznej B dla dowolnego punktu leżąc.... Question from @krzychu135

September 2018 1 12 Report

Korzystając z prawa Biota-Sovarta obliczyć wektor indukcji magnetycznej B dla dowolnego punktu leżącego na zewnątrz prostoliniowego, cienkiego i nieskończenie długiego przewodnika, przez który płynie prąd o natężeniu I. Dla tego samego przypadku obliczyć B z prawa Ampera i porównać wyniki Proszę o wszystkie obliczenia.

platon1984

Zacznę od prawa Ampere'a (bo łatwiej), wygląda ono następująco:

$\int{\vec{B}d\vec{l}}=\mu_0I$

kontur całkowania wybieramy w postaci pierścienia o promieniu a prostopadlego do przewodnika z prądem (pole jest wtedy stałe, co do wartości):

$B\int{dl}=B\cdot2\pi a=\mu_0I\\ B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}$

pole B musi być stale zwrot i kierunek elementu dl, jest więc polem wirowym.

teraz z prawa Biota-Savarta

$d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{\vec{dl}\times \vec{r}}{|\vec{r}|^3}=-\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{r\cdot dl\cdot\sin{\alpha}}{r^2}\hat{e}_z$

przyjąłem tu prąd w kierunku osi y i punkt P w ktorym liczę pole na prawo od niego. Wtedy iloczyn wektorowy generuje znak (-), zaś α jest kątem między wektorem r i elementem długości dl.

sinus tego kąta:

$\sin\alpha=\frac{a}{r}\\ r=\frac{a}{\sin\alpha}$

gdzie a jest odległością punktu od prostej. Natomiast stosunek elementu długości l do a:

$\frac{l}{a}=\frac{1}{\tan\alpha}\\ dl=-\frac{a}{\sin^2\alpha}$

wstawiamy to do prawa Biota-Savarta i całkujemy:

$B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{0}^{\pi}{\frac{a}{\sin^2\alpha}\sin\alpha\cdot\frac{sin^2\alpha}{a^2}d\alpha}\\ B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\int_{0}^{\pi}{sin\alpha\cdot d\alpha}=\frac{\mu_0I}{2\pi a}$