Question

Korzystając z monotoniczności odpowiedniej funkcji logarytmicznej, uporządkuj liczby x, y, z w kolejności rosnącej.
Proszę też o wytłumaczenie w jaki sposób to zrobić

Answer 1

Monotoniczność funkcji logarytmicznej

a) y < z < x

b) z < x < y

Jeżeli podstawa logarytmu jest większa od 1 to funkcja logarytmiczna jest rosnąca. Znaczy to, że kolejne wartości x przyjmują coraz to większe wartości y.

Jeśli podstawa logarytmu należy do przedziału (0, 1) to funkcja logarytmiczna jest malejąca. Znaczy to, że kolejne wartości x przyjmują coraz to mniejsze wartości y.

Rozwiązanie:

a) Sprowadźmy wszystkie liczby do postaci [tex]log_{3} x[/tex].

[tex]x = log_32^2 = log_34[/tex]

[tex]y = log_327^{\frac{1}{3} } = log_3\sqrt[3]{27} = log_33[/tex]

[tex]z = log_33\frac{1}{2}[/tex]

Wiemy, że większe x dają większe wartości funkcji. Możemy więc ustalić:

3 < 3,5 < 4, co jest równoważne y < z < x

b) Sprowadźmy wszystkie liczby do postaci [tex]log_{\frac{1}{3} } x[/tex].

[tex]x = log_\frac{1}{3}16^{\frac{3}{4}} = log_\frac{1}{3}(\sqrt[4]{16})^3 = log_\frac{1}{3}2^3 = log_\frac{1}{3}8[/tex]

[tex]y = log_\frac{1}{3}8^{\frac{2}{3}} = log_\frac{1}{3}(\sqrt[3]{8})^2 = log_\frac{1}{3}2^2 = log_\frac{1}{3}4[/tex]

[tex]z = log_\frac{1}{3}\sqrt{80} = log_\frac{1}{3}\sqrt{16*5} = log_\frac{1}{3}4\sqrt{5}[/tex]

Wiemy, że większe x dają mniejsze wartości funkcji. Możemy więc ustalić:

4√5 > 8 > 4, co jest równoważne z < x < y

#SPJ1