Question

Kerjakan Menggunakan Langkah-langkah Pengerjaan, Soal Nomor 6,7, 8, Kelas 12​

Answer 1

Verified answer

Hasil integral dari [tex]\int{sin(2x) . cos (3x) \: dx}[/tex] adalah  [tex]-\frac{1}{10} cos (5x) + cos (x) + C[/tex]

Hasil integral dari [tex]\int{sin^{2} (3x) . cos(3x) \: dx}[/tex] adalah [tex]\frac{1}{9} \left ( sin^{3} (3x) \right ) + C[/tex]

Hasil integral dari [tex]\int{3x . sin(2x) \: dx}[/tex] adalah [tex]-\frac{3}{2} x \: cos(2x) + \frac{3}{4}sin (2x) + C[/tex]

[tex]\bold{PENDAHULUAN}[/tex]

• [tex]\underline{\rm{Pengertian \: Anti-derivatif}}[/tex]

        Definisi : Sebuah fungsi F dikatakan anti derivatif dari suatu fungsi f, jika turunan fungsi F adalah f. Proses penentuan anti derivatif dari suatu fungsi disebut anti differensiasi atau integrasi. Jika [tex]\frac{d}{dx} \left [ F(x) \right ] = f(x)[/tex] maka fungsi - fungsi dalam bentuk [tex]F(x) + C[/tex] adalah anti derivatif dari [tex]f(x)[/tex] yang dinotasikan dengan :

         [tex]\boxed{\int{f(x) \: dx = F(x) + C}}[/tex]

       Dalam menyelesaikan integrasi dari fungsi trigonometri berpangkat, diperlukan beberapa identitas trigonometri atau rumus yang sering digunakan. Rumus - rumus tersebut disajikan di bawah ini sebagai referensi untuk mengerjakan soal :

1. [tex]sin^{2} (x) + cos^{2} (x) = 1[/tex]
2. [tex]sec^{2} (x) = 1 + tan^{2} (x)[/tex]
3. [tex]csc^{2} (x) = 1 + cot^{2} (x)[/tex]
4. [tex]sin^{2} (x) = \frac{1}{2} \left ( 1 - cos (2x) \right )[/tex]
5. [tex]cos^{2} (x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + cos(2x) \right )[/tex]
6. [tex]sin(2x) = 2 sin (x) . cos(x)[/tex]
7. [tex]sin\left ( x+y \right ) = sin (x) cos (y) + cos(x) sin (y)[/tex]
8. [tex]sin\left ( x-y \right ) = sin (x) cos (y) - cos (x) sin (y)[/tex]
9. [tex]cos \left ( x + y\right ) = cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y)[/tex]
10. [tex]cos \left ( x - y \right ) = cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y)[/tex]
11. [tex]sin (mx) sin (ny) = - \frac{1}{2} \left [ cos(m+n)x - cos(m - n)x \right ][/tex]
12. [tex]cos (mx) cos (ny) = \frac{1}{2} \left [ cos(m+n)x + cos(m - n)x \right ][/tex]
13. [tex]sin(mx) cos(ny) = \frac{1}{2} \left [sin(m+n)x + sin(m-n)x \right ][/tex]
14. [tex]cos(mx) sin (ny) = \frac{1}{2} \left [ sin(m+n)x - sin (m-n)x \right ][/tex]

Formula identitas di atas akan membantu dalam pengerjaan soal integrasi fungsi trignometri.

[tex]\bold{PEMBAHASAN }[/tex]

• [tex]\underline{\rm{Soal \: nomor \: 1}}[/tex]

Perhatikan bahwa fungsi yang akan diintegrasikan adalah [tex]sin(2x) cos(3x)[/tex] sehingga kita dapat menerapkan identitas nomor 13 untuk menyelesaikan persoalan ini.

[tex]\int{sin(2x) cos (3x) \: dx} = \frac{1}{2} \int{ sin(2 + 3)x + sin(2 - 3)x}[/tex]

[tex]\int{sin(2x) cos(3x) \: dx} = \int{sin(5x) + sin(-x) \: dx}[/tex]

[tex]\int{sin(2x) cos(3x) \: dx} = \frac{1}{2} \left ( \int{sin (5x) \: dx} - \int{sin (x) \: dx} \right )[/tex]

[tex]\int{sin(2x) cos(3x) \: dx} = -\frac{1}{10} cos (5x) + cos (x) + C[/tex]

Jadi, diperoleh :

[tex]\boxed{\int{sin(2x) cos(3x) \: dx} = -\frac{1}{10} cos (5x) + cos (x) + C}[/tex].

• [tex]\underline{\rm{Soal \: nomor \: 2}}[/tex]

Untuk penyelesaian integrasi fungsi [tex]sin^{2} (3x) . cos (3x)[/tex] ini tidak diperlukan identitas di atas. Lakukan dengan proes integrasi substitusi dengan memisalkan [tex]u = sin (3x)[/tex] diperoleh :

[tex]\int{sin^{2} (3x) cos(3x) \: dx} = \frac{1}{3} \int{u^{2} du }[/tex]

[tex]\int{sin^{2} (3x) cos(3x) \: dx} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} u^{3} + C[/tex]

[tex]\int{sin^{2} (3x) cos(3x) \: dx} = \frac{1}{9} \left ( sin^{3} (3x) \right ) + C[/tex]

Jadi, diperoleh :

[tex]\boxed{\int{sin^{2} (3x) cos(3x) \: dx} = \frac{1}{9} \left ( sin^{3} (3x) \right ) + C}[/tex]

• [tex]\underline{\rm{Soal \: nomor \: 3}}[/tex]

Penyelesaian integrasi untuk fungsi [tex]3x .sin(2x)[/tex]  dilakukan secara integrasi parsial. Adapun rumus umumnya adalah :

   [tex]\boxed{\int{u \: dv} = u.v - \int{v \: du}}[/tex]

Kita harus memilih pemisalan u untuk fungsi yang lebih mudah atau memiliki bentuk yang tidak rumus. Dalam hal ini fungsi yang dimaksud adalah [tex]3x[/tex] yang bertindak sebagai [tex]u[/tex] dan [tex]dv = sin (2x)[/tex] sehingga [tex]v = \int{sin (2x) \: dx} = -\frac{1}{2} cos (2x)[/tex]. Maka diperoleh :

[tex]\int{3x . sin(2x) \: dx} = 3x . \left ( -\frac{1}{2} cos(2x) \right ) - \int{ \left ( -\frac{1}{2} cos(2x) .\: 3 \: dx \right )}[/tex]

[tex]\int{3x . sin(2x) \: dx} = -\frac{3}{2} x \: cos(2x) + \frac{3}{2} \int{cos (2x) \: dx}[/tex]

[tex]\int{3x . sin(2x) \: dx} = -\frac{3}{2} x \: cos(2x) + \frac{3}{2} . \frac{1}{2} sin (2x) + C[/tex]

[tex]\int{3x . sin(2x) \: dx} = -\frac{3}{2} x \: cos(2x) + \frac{3}{4}sin (2x) + C[/tex]

Sehingga, diperoleh :

[tex]\boxed{\int{3x . sin(2x) \: dx} = -\frac{3}{2} x \: cos(2x) + \frac{3}{4}sin (2x) + C}[/tex]

[tex]\bold{Pelajari \: Lebih \: Lanjut}[/tex]

• Integral fungsi trigonometri : https://brainly.co.id/tugas/29436105
• Integral parsial : brainly.co.id/tugas/28945863
• Integral fungsi : brainly.co.id/tugas/29299793

===========================================

[tex]\bold{DETIL \: JAWABAN}[/tex]

Kelas : 12

Mapel : Matematika

Kategori : Integral

Kata Kunci : Integral Trigonometri

Kode : 12.2.1 (Kelas 12 Matematika Bab 1 - Integral)