Question

Kerjakan Menggunakan Langkah-langkah Pengerjaan ​

Answer 1

Jawaban & Penjelasan:

1. Persamaan differensial tersebut adalah:

dy/dx = (x + 3y)/(2x)

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan metode pemisahan variabel. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

dy/(x + 3y) = dx/(2x)

Kemudian, kita integralkan kedua sisi persamaan:

∫(1/(x + 3y)) dy = ∫(1/(2x)) dx

Untuk menyelesaikan integral di sisi kiri, kita dapat menggunakan substitusi u = x + 3y dan du = 3 dy. Maka persamaan menjadi:

(1/3)∫(1/u) du = (1/2)∫(1/x) dx

ln|u|/3 = ln|x|/2 + C1

ln|x + 3y| = (3/2)ln|x| + C2

Kita bisa mengekspresikan hasil ini sebagai:

|x + 3y| = e^((3/2)ln|x| + C2)

|x + 3y| = e^(ln|x|^3/2 + C2)

|x + 3y| = |x|^3/2 * e^(C2)

|x + 3y| = |x|^3/2 * K, dengan K = e^(C2) adalah konstanta

Ada dua kemungkinan nilai dari x + 3y:

1. Jika x + 3y > 0, maka persamaan menjadi:

x + 3y = K|x|^3/2

Sekarang, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk y:

y = (K|x|^3/2 - x)/3

2. Jika x + 3y < 0, maka persamaan menjadi:

-(x + 3y) = K|x|^3/2

Sekarang, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk y:

y = (x - K|x|^3/2)/3

Jadi, solusi umum persamaan differensial ini adalah:

y = (K|x|^3/2 - x)/3, untuk x + 3y > 0

y = (x - K|x|^3/2)/3, untuk x + 3y < 0

2. Persamaan differensial tersebut adalah:

dy/dx = (x^2 - 2y^2)/(xy)

Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan membagi kedua sisi dengan xy:

(dy/dx) = (x^2/xy - 2y^2/xy)

dy/dx = (x/y - 2y/x)

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan metode pemisahan variabel. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

dy/(x/y - 2y/x) = dx

dy/[(x^2 - 2y^2)/xy] = dx

Kemudian, kita dapat membalikkan pecahan dan mengalikan dengan xy:

xy dy/(x^2 - 2y^2) = dx

Selanjutnya, kita dapat mengintegrasikan kedua sisi persamaan ini:

∫(xy dy)/(x^2 - 2y^2) = ∫dx

Untuk menyelesaikan integral di sisi kiri, kita dapat menggunakan substit

usi u = x^2 - 2y^2 dan du = 2(x dy - y dx). Maka persamaan menjadi:

(1/2)∫(dy/y) = ∫(dx/x)

ln|y|/2 = ln|x| + C1

ln|y| = 2ln|x| + C2

ln|y| = ln|x|^2 + C2

Kita bisa mengekspresikan hasil ini sebagai:

|y| = |x|^2 * e^(C2)

|y| = K|x|^2, dengan K = e^(C2) adalah konstanta

Ada dua kemungkinan nilai dari y:

1. Jika y > 0, maka persamaan menjadi:

y = K|x|^2

2. Jika y < 0, maka persamaan menjadi:

-y = K|x|^2

y = -K|x|^2

Jadi, solusi umum persamaan differensial ini adalah:

y = K|x|^2, untuk y > 0

y = -K|x|^2, untuk y < 0

Answer 2

Jawaban:

1.) DIKETAHUI:

dy/dx = (x + 3y)/2x

DITANYA:

Berapa y?

SOLUSI:

Kita dapat menggunakan metode pemisahan variabel untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini:

dy/dx = (x + 3y)/2x

dy/(x + 3y) = dx/2x

Kita dapat melakukan integrasi pada kedua sisi persamaan ini:

∫dy/(x + 3y) = ∫dx/2x

(1/3)ln|x + 3y| = (1/2)ln|x| + C

ln|x + 3y| = (3/2)ln|x| + C’

Kita dapat menghilangkan logaritma alami dengan menggunakan eksponen:

|x + 3y| = e^(3/2ln|x| + C’)

|x + 3y| = e^C’ * x^(3/2)

Kita dapat membagi persamaan ini menjadi dua kasus tergantung pada apakah x + 3y bernilai positif atau negatif:

Jika x + 3y > 0 maka |x + 3y| = x + 3y sehingga kita dapat menyelesaikan untuk y:

x + 3y = e^C’ * x^(3/2)

y = (e^C’ * x^(3/2) - x) / 3

Jika x + 3y < 0 maka |x + 3y| = -(x + 3y sehingga kita dapat menyelesaikan untuk y:

-(x + 3y) = e^C’ * x^(3/2)

y = (-e^C’ * x^(3/2) + x) / 3

Sehingga solusi umum dari persamaan diferensial ini adalah:

y = (e^C’ * x^(3/2) - x) / 3 untuk x + 3y > 0

y = (e^C’ * x^(3/2) - x) / 3 untuk x + 3y > 0 atau

y = (e^C’ * x^(3/2) - x) / 3 untuk x + 3y > 0 atau y = (-e^C’ * x^(3/2) + x) / 3 untuk x + 3y < 0

dengan C’ adalah konstanta integrasi yang tidak diketahui sebelumnya.

2.) Diketahui: dy/dx = (x² - 2y²)/(xy)

Ditanya: Nilai y pada persamaan tersebut.

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Kita bisa memulai dengan menyederhanakan persamaan terlebih dahulu. Untuk itu kita bisa membagi kedua ruas dengan xy:

dy/dx = (x² - 2y²)/(xy)

dy/dx = x/y - 2y/ x

2. Selanjutnya kita bisa menyelesaikan persamaan ini sebagai persamaan diferensial biasa. Untuk itu kita bisa memisahkan variabel dy dan dx dan kemudian melakukan integrasi pada kedua ruas:

dy/y - 2y dx/x = dx

lny - 2ln|x| = ln |x| + C

lny = ln(x^2) + C

y = Cx^2

3. Kita masih perlu menentukan nilai C. Untuk itu kita bisa menggunakan kondisi awal atau nilai y pada suatu titik tertentu. Jika tidak disebutkan nilai titik tertentu maka y dapat ditulis sebagai:

y = Cx^2

Sehingga kita dapatkan nilai y pada persamaan diferensial tersebut adalah y = Cx^2.