Question

Kerjakan Menggunakan Langkah-langkah Pengerjaan ​

Answer 1

Jawab:

1. Luas daerah tertutup di kuadran I yang dibatasi oleh y = x³ dan y = 2x-x³ adalah 1/2 satuan luas.

2. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x² - 5x + 4 dan sumbu x adalah |-31/6| = 31/6 satuan luas.

3. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x² - 1 dan sumbu x dengan batas integral a = 0 dan b = 2 adalah 2/3 satuan luas.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

1. Diketahui:

• Daerah tertutup di kuadran I dibatasi oleh y = x³ dan y = 2x-x³

Ditanya:

• Berapa luas daerah tertutup tersebut?

Jawab:

Untuk menentukan luas daerah tertutup di kuadran I yang dibatasi oleh y = x³ dan y = 2x-x³, kita perlu menemukan titik potong kedua kurva tersebut terlebih dahulu.

Kita dapat menemukan titik potong dengan menyamakan persamaan kedua kurva tersebut:

x³ = 2x-x³ 2x³ = 2x x³ = x x(x² - 1) = 0 x = 0 atau x = 1

Karena kita hanya tertarik pada daerah di kuadran I, maka kita hanya mempertimbangkan titik potong dengan x = 1. Titik potong tersebut adalah (1,1).

Selanjutnya, kita dapat menghitung luas daerah tertutup dengan menghitung integral dari selisih kedua fungsi tersebut pada interval [0,1]:

Luas = ∫[0,1] (2x-x³) - x³ dx = ∫[0,1] (2x-2x³) dx = [x² - (1/2)x⁴] dari 0 hingga 1 = (1 - (1/2)) - (0 - 0) = 1/2

Jadi, luas daerah tertutup di kuadran I yang dibatasi oleh y = x³ dan y = 2x-x³ adalah 1/2 satuan luas.

2. Diketahui:

• Daerah dibatasi oleh y = x² - 5x + 4 dan sumbu x

Ditanya:

• Berapa luas daerah tersebut?

Jawab:

Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x² - 5x + 4 dan sumbu x, kita perlu menemukan titik potong kurva dengan sumbu x terlebih dahulu.

Kita dapat menemukan titik potong dengan menyamakan persamaan kurva dengan 0:

x² - 5x + 4 = 0 (x - 1)(x - 4) = 0 x = 1 atau x = 4

Jadi, kurva y = x² - 5x + 4 memotong sumbu x di titik (1,0) dan (4,0).

Selanjutnya, kita dapat menghitung luas daerah yang dibatasi oleh y = x² - 5x + 4 dan sumbu x dengan menghitung integral dari fungsi tersebut pada interval [1,4]:

Luas = ∫[1,4] (x² - 5x + 4) dx = [(1/3)x³ - (5/2)x² + 4x] dari 1 hingga 4 = [(64/3) - (80/2) + (16)] - [(1/3) - (5/2) + (4)] = (-32/3) + (11/2) = (-64 + 33)/6 = -31/6

Namun, karena luas tidak bisa bernilai negatif, maka luas daerah yang dibatasi oleh y = x² - 5x + 4 dan sumbu x adalah |-31/6| = 31/6 satuan luas.

3. Diketahui:

• Daerah dibatasi oleh y = x² - 1 dan sumbu x
• Batas integral adalah a = 0 dan b = 2

Ditanya:

• Berapa luas daerah tersebut?

Jawab:

Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x² - 1 dan sumbu x dengan batas integral a = 0 dan b = 2, kita dapat menghitung integral dari fungsi tersebut pada interval [0,2]:

Luas = ∫[0,2] (x² - 1) dx = [(1/3)x³ - x] dari 0 hingga 2 = [(8/3) - (2)] - [(0) - (0)] = (8/3) - (6/3) = 2/3

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh y = x² - 1 dan sumbu x dengan batas integral a = 0 dan b = 2 adalah 2/3 satuan luas.

Answer 2

Verified answer

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Aplikasi Integral

1) y = x³

y = 2x-x³

cari batas batasnya

x³ = 2x-x³

x³-2x+x³ = 0

2x³-2x = 0

2x(x²-1) = 0 ...... bagi kedua ruas dengan 2

x(x²-1) = 0

maka diperoleh

x = 0 , dan

x² = 1

x = √1

x = ±1 , karena yang ditanyakan adalah kuadran I maka batasnya adalah [ 0 1 ]

Maka luas daerah

= ʃ (2x-x³)-x³ dx [ 0 1 ]

= ʃ -2x³ + 2x dx [ 0 1 ]

= -¼2(x⁴) + ½2(x²) [ 0 1 ]

= -½x⁴ + x² [ 0 1 ]

= ( -½(1)⁴ + (1)⁴) - ( -½(0)⁴+(0)⁴)

= -½ + 1 - 0

= -½ + 2/2

= ½ satuan luas ✓

2) y = x²-5x+4

y = 0

cari batas batasnya

x²-5x+4 = 0

(x-1)(x-4) = 0

maka diperoleh

x = 1 dan x = 4

Maka luas daerah

= ʃ x²-5x+4 dx [ 1 4 ]

= ⅓x³ - ½5x² + 4x [ 1 4 ]

=( ⅓(4)³ - ½5(4)² + 4(4)) - (⅓(1)³-½5(1)² + 4(1))

= (64/3 - 40 + 16) - (⅓-5/2 + 4)

= (64/3 - 24) - ( 2/6 - 15/6 + 4)

= 64/3 - 24 - ( 11/6 )

= 64/3 - 11/6 - 24

= 128/6 - 11/6 - 24

= 39/2 - 24

= | -9/2 |

= 9/2 satuan luas ✓

3) = ʃ x²-1 dx [ 0 2 ]

= ⅓x³ - x [ 0 2 ]

= ⅓(2)³ - 2 - (⅓(0)³-0)

= ⅓8 - 2

= ⅙16 - ⅙12

= 4/6 satuan luas ✓