Question

[KALKULUS LANJUT] Big Poin untuk soal kelas Mahasiswa. Gak perlu direkam, cukup minta tolong dijelaskan cara-caranya untuk nomer 2 yaa.. Terima kasih! - Mencari Suhu Tertinggi dari suatu Lempeng

Answer 1

Jawaban:

Untuk menentukan tempat terpanas dan terdingin pada lempengan yang diberikan, kita perlu mencari titik ekstrim suhu yang diwakili oleh fungsi T(x, y).

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Hitung gradien suhu T(x, y) terhadap kedua variabel x dan y.

∇T(x, y) = (2x, 2y - 1)

2. Tentukan titik-titik di mana gradien suhu sama dengan nol untuk mencari titik stasioner.

Untuk x: 2x = 0 --> x = 0

Untuk y: 2y - 1 = 0 --> y = 1/2

Sehingga titik stasioner adalah (0, 1/2).

3. Lakukan analisis kedua untuk memastikan apakah titik stasioner tersebut merupakan maksimum lokal, minimum lokal, atau titik sederhana.

4. Untuk mencari tempat terpanas dan terdingin, kita perlu mengevaluasi suhu pada titik-titik tersebut.

a. Untuk titik stasioner (0, 1/2):

T(0, 1/2) = 2(0)² + (1/2)² - (1/2) = 1/4 - 1/2 = -1/4

b. Untuk titik pada lingkaran S={(z.)²+1}:

Karena lempengan berbentuk lingkaran dengan persamaan S = {(z.)² + 1}, kita dapat menggantikan x dengan z dan y dengan z dalam fungsi T(x, y).

T(z) = 2z² + z² - z = 3z² - z

Sehingga kita perlu mencari nilai z yang memaksimalkan dan meminimalkan fungsi T(z).

5. Untuk menentukan tempat terpanas dan terdingin pada lempengan, kita mencari titik-titik kritis fungsi T(z) dengan mengambil turunan pertama dan kedua terhadap z.

Turunan pertama: T'(z) = 6z - 1

Turunan kedua: T''(z) = 6

Titik kritis terjadi ketika T'(z) = 0:

6z - 1 = 0

z = 1/6

6. Evaluasi suhu pada titik-titik kritis tersebut:

T(1/6) = 3(1/6)² - 1/6 = 1/12 - 1/6 = -1/12

Sehingga tempat terpanas adalah pada titik (1/6) dengan suhu -1/12, dan tempat terdingin adalah pada titik (0, 1/2) dengan suhu -1/4.

Jadi, tempat terpanas terletak pada titik (1/6) dengan suhu -1/12, dan tempat terdingin terletak pada titik (0, 1/2) dengan suhu -1/4 pada lempengan tersebut.