Question

[KALKULUS LANJUT] Big Poin untuk soal kelas Mahasiswa. Gak perlu direkam, cukup minta tolong dijelaskan cara-caranya untuk nomer 1 yaa.. Terima kasih! - Titik Kelengkungan Terkecil dan Terbesar dari Elips

Answer 1

Jawaban:

Untuk mencari titik pada ellips yang memiliki kelengkungan terbesar dan terkecil, kita akan menggunakan persamaan elips umum yang diberikan:

(x²/a²) + (y²/b²) = 1

Dalam kasus ini, persamaan elips menjadi:

(x²/16) + (y²/4) = 1

Untuk menemukan kelengkungan, kita akan menggunakan turunan kedua persamaan elips terhadap kedua variabel x dan y.

Turunan kedua terhadap x: (∂²/∂x²)((x²/16) + (y²/4)) = 2/16 = 1/8

Turunan kedua terhadap y: (∂²/∂y²)((x²/16) + (y²/4)) = 2/4 = 1/2

Dalam kasus ini, nilai kelengkungan terbesar dan terkecil terletak pada sumbu utama dan sumbu kedua elips. Sumbu utama merupakan sumbu yang sejajar dengan sumbu dengan kelengkungan terbesar, sedangkan sumbu kedua merupakan sumbu yang sejajar dengan sumbu dengan kelengkungan terkecil.

Dalam persamaan elips (x²/16) + (y²/4) = 1, a adalah panjang setengah sumbu utama dan b adalah panjang setengah sumbu kedua.

a = √16 = 4

b = √4 = 2

Sehingga panjang setengah sumbu utama adalah 4 dan panjang setengah sumbu kedua adalah 2.

Dengan menggunakan informasi ini, kita dapat menentukan titik-titik yang memiliki kelengkungan terbesar dan terkecil:

1. Kelengkungan Terbesar:

Titik yang memiliki kelengkungan terbesar terletak pada sumbu utama. Dalam kasus ini, sumbu utama adalah sumbu y, karena panjang setengah sumbu utama (4) berhubungan dengan y.

Jadi, titik dengan kelengkungan terbesar pada ellips adalah (0, ±2).

2. Kelengkungan Terkecil:

Titik yang memiliki kelengkungan terkecil terletak pada sumbu kedua. Dalam kasus ini, sumbu kedua adalah sumbu x, karena panjang setengah sumbu kedua (2) berhubungan dengan x.

Jadi, titik dengan kelengkungan terkecil pada ellips adalah (±4, 0).

Dengan demikian, titik pada ellips yang memiliki kelengkungan terbesar adalah (0, ±2), sementara titik yang memiliki kelengkungan terkecil adalah (±4, 0).