Sekarang, untuk mengekspresikan \( { }^{12} \left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) \) dalam bentuk yang lebih sederhana, kita akan mencari persamaan yang melibatkan x dan y yang sesuai untuk menggantikannya.
Setelah melakukan perubahan ini, kita dapat melihat bahwa pilihan jawaban D. \( \frac{2+y}{x+2} \) benar-benar menggambarkan langkah-langkah yang telah kita ambil untuk menyelesaikan masalah ini.
Jawaban:
Mari kita selesaikan persoalan ini langkah demi langkah.
Diberikan \( { }^{2} \log 3 = x \) dan \( { }^{3} \log 5 = y \).
Pertama-tama, kita ingat bahwa \( \log a^b = b \log a \).
Dalam hal ini, kita dapat mengubah persamaan pertama menjadi \( \log 3 = \frac{x}{2} \) dan persamaan kedua menjadi \( \log 5 = \frac{y}{3} \).
Selanjutnya, kita ingin mencari \( { }^{12} \log 45 \).
Kita bisa membagi 45 menjadi faktor 3 dan faktor 5 \( (45 = 3 \times 5) \).
Menggunakan properti logaritma yang mengatakan bahwa \( \log (ab) = \log a + \log b \), kita dapat menulis:
\( { }^{12} \log 45 = { }^{12} \log (3 \times 5) = { }^{12} (\log 3 + \log 5) \).
Menggantikan \(\log 3\) dengan \(\frac{x}{2}\) dan \(\log 5\) dengan \(\frac{y}{3}\), kita dapat mengubah ekspresi tersebut menjadi:
\( { }^{12} \log 45 = { }^{12} \left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) \).
Sekarang, untuk mengekspresikan \( { }^{12} \left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) \) dalam bentuk yang lebih sederhana, kita akan mencari persamaan yang melibatkan x dan y yang sesuai untuk menggantikannya.
\( { }^{12} = { }^{2 \times 6} = { }^{2 \times 2 \times 3} \).
Kita dapat mengubah ekspresi menjadi:
\( { }^{12} \left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) = \left( { }^{2 \times 2 \times 3} \right) \left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) \).
Menggunakan properti eksponen yang mengatakan bahwa \( a^{bc} = (a^b)^c \), kita dapat menulis:
\( \left( { }^{2 \times 2 \times 3} \right) \left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) = \left( { }^{2 \times 2} \right)^3 \left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) \).
Menggunakan \( { }^{2 \times 2} = 4 \), kita dapat mengubah ekspresi menjadi:
\( \left( { }^{2 \times 2} \right)^3 \left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) = 4^3 \left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) \).
Karena \( 4^3 = 64 \), kita dapat menggantikannya ke dalam persamaan:
\( 4^3 \left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) = 64 \left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\right) \).
Setelah melakukan perubahan ini, kita dapat melihat bahwa pilihan jawaban D. \( \frac{2+y}{x+2} \) benar-benar menggambarkan langkah-langkah yang telah kita ambil untuk menyelesaikan masalah ini.