Kita ingin mencari nilai maksimum dari x + 2y, dengan syarat bahwa titik (x,y) memenuhi ketidakpenuhan 2x+3 ≥ y ≥ 2x².
Untuk melakukan optimasi ini, kita perlu mengamati bahwa x + 2y mewakili suatu garis lurus dengan gradien -1/2. Artinya, nilai x + 2y akan semakin besar jika kita menggeser titik (x,y) yang memenuhi syarat ke arah yang memperbesar gradien garis tersebut.
Dari ketidakpenuhan 2x+3 ≥ y ≥ 2x², kita peroleh:
- 2x+3 ≥ y , atau y - 2x ≤ 3
- y ≥ 2x², atau y - 2x² ≥ 0
Perhatikan bahwa ketika kedua pertidaksamaan di atas terpenuhi, maka kedua sisi pertidaksamaan tersebut dapat kita jumlahkan, sehingga diperoleh:
y + 3 ≥ 2x² + y - 2x ≥ 3
Kita ingin mengevaluasi x + 2y, tetapi sesuai dengan persamaan di atas, kita perlu mengevaluasi x + y + y. Karena y termasuk dalam dua ketidakpenuhan di atas, maka kita perlu menghilangkan y dengan menjumlahkan kedua ketidakpenuhan. Setelah kita menjumlahkan, maka ketidaksamaannya menjadi:
2x² - 2x + 3 ≥ 2y ≥ y + 3
Aplikasikan x + 2y pada setiap sisi ketidaksamaan tersebut:
2x + 4y ≥ x + 2y + 2x² + 6
Terakhir, ubah ke bentuk kanonik dalam x agar dapat menentukan x maksimum dari pertidaksamaan tersebut:
2x² + (2-2)x + (4-2) y −6 ≤ 0
2x² + x + (2y - 6) ≤ 0
Kita telah mendapatkan sebuah persamaan kuadratik dalam x yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik persamaan kuadratik. Kita lihat diskriminannya:
b² - 4ac = (1)² - 4(2)(2y-6)
= 1 - 16y + 24
= -16y + 25
= (5)² - (4)(16y)
Diskriminan tersebut non-negatif jika 16y ≤ 25/4, atau y ≤ 25/64.
Kita ingin menentukan nilai maksimum dari x + 2y, sehingga perhatikan bahwa nilai tersebut akan maksimum jika x maksimum dan y maksimum. Oleh karena itu, dari ketidakpenuhan 2x+3 ≥ y ≥ 2x², maka y maksimum terjadi ketika y = 25/64 terpenuhi, dan x maksimum terjadi ketika x = 5/8 terpenuhi.
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Kita ingin mencari nilai maksimum dari x + 2y, dengan syarat bahwa titik (x,y) memenuhi ketidakpenuhan 2x+3 ≥ y ≥ 2x².
Untuk melakukan optimasi ini, kita perlu mengamati bahwa x + 2y mewakili suatu garis lurus dengan gradien -1/2. Artinya, nilai x + 2y akan semakin besar jika kita menggeser titik (x,y) yang memenuhi syarat ke arah yang memperbesar gradien garis tersebut.
Dari ketidakpenuhan 2x+3 ≥ y ≥ 2x², kita peroleh:
- 2x+3 ≥ y , atau y - 2x ≤ 3
- y ≥ 2x², atau y - 2x² ≥ 0
Perhatikan bahwa ketika kedua pertidaksamaan di atas terpenuhi, maka kedua sisi pertidaksamaan tersebut dapat kita jumlahkan, sehingga diperoleh:
y + 3 ≥ 2x² + y - 2x ≥ 3
Kita ingin mengevaluasi x + 2y, tetapi sesuai dengan persamaan di atas, kita perlu mengevaluasi x + y + y. Karena y termasuk dalam dua ketidakpenuhan di atas, maka kita perlu menghilangkan y dengan menjumlahkan kedua ketidakpenuhan. Setelah kita menjumlahkan, maka ketidaksamaannya menjadi:
2x² - 2x + 3 ≥ 2y ≥ y + 3
Aplikasikan x + 2y pada setiap sisi ketidaksamaan tersebut:
2x + 4y ≥ x + 2y + 2x² + 6
Terakhir, ubah ke bentuk kanonik dalam x agar dapat menentukan x maksimum dari pertidaksamaan tersebut:
2x² + (2-2)x + (4-2) y −6 ≤ 0
2x² + x + (2y - 6) ≤ 0
Kita telah mendapatkan sebuah persamaan kuadratik dalam x yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik persamaan kuadratik. Kita lihat diskriminannya:
b² - 4ac = (1)² - 4(2)(2y-6)
= 1 - 16y + 24
= -16y + 25
= (5)² - (4)(16y)
Diskriminan tersebut non-negatif jika 16y ≤ 25/4, atau y ≤ 25/64.
Kita ingin menentukan nilai maksimum dari x + 2y, sehingga perhatikan bahwa nilai tersebut akan maksimum jika x maksimum dan y maksimum. Oleh karena itu, dari ketidakpenuhan 2x+3 ≥ y ≥ 2x², maka y maksimum terjadi ketika y = 25/64 terpenuhi, dan x maksimum terjadi ketika x = 5/8 terpenuhi.
Maka nilai maksimum dari x + 2y adalah:
x + 2y = 5/8 + 2(25/64) = 25/16 + 25/32 = 75/32 = 2.34375.
Sehingga nilai maksimum dari x + 2y adalah 2.34375.