Question

Jika diketahui x = sin α + sin β dan y = cos α – cos β , maka nilai terbesar x2+y2 tercapai saat …. A. α= – β + 45 B. α = – β + 60 C. α = – β + 90 D. α = – β + 120 E. α = – β + 180​

Answer 1

Jawaban:

E. α = -β + 180°.

Penjelasan:

Untuk mencari nilai terbesar dari x^2 + y^2, kita harus mencari nilai α dan β yang memaksimalkan ekspresi tersebut.

Dalam hal ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri yaitu:

sin^2θ + cos^2θ = 1

Dalam kasus ini, kita memiliki:

x^2 + y^2 = (sin α + sin β)^2 + (cos α - cos β)^2

= sin^2α + 2sin α sin β + sin^2β + cos^2α - 2cos α cos β + cos^2β

= 2 + 2sin α sin β - 2cos α cos β

Untuk memaksimalkan nilai x^2 + y^2, kita perlu memaksimalkan nilai 2sin α sin β - 2cos α cos β. Hal ini dapat dicapai dengan memaksimalkan sin α sin β dan meminimalkan cos α cos β.

Kita tahu bahwa sin α sin β akan mencapai nilai maksimum saat α = β = 90° (atau α = -β + 90°).

Sedangkan, cos α cos β akan mencapai nilai minimum saat α = β = 180° (atau α = -β + 180°).

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah E. α = -β + 180°.

Answer 2

Untuk mencari nilai terbesar dari x^2 + y^2, kita perlu mengoptimalkan nilai sin α, sin β, cos α, dan cos β.

Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menggabungkan persamaan x dan y dalam bentuk sin dan cos:

x = sin α + sin β
y = cos α – cos β

Sekarang, kita ubah x^2 + y^2 menjadi bentuk sin dan cos:

x^2 + y^2 = (sin α + sin β)^2 + (cos α – cos β)^2
= sin^2 α + 2sin αsin β + sin^2 β + cos^2 α - 2cos αcos β + cos^2 β
= 2 + 2sin αsin β - 2cos αcos β

Kita ingin mencari nilai terbesar dari ekspresi di atas. Pertimbangkan hubungan antara sin dan cos pada kuadran tertentu:

- Pada kuadran I, sin α dan cos α positif.
- Pada kuadran II, sin α positif, tetapi cos α negatif.
- Pada kuadran III, sin α dan cos α negatif.
- Pada kuadran IV, sin α negatif, tetapi cos α positif.

Perhatikan bahwa hubungan antara sin β dan cos β akan bergantung pada hubungan antara α dan β.

Dalam persamaan x^2 + y^2 = 2 + 2sin αsin β - 2cos αcos β, kita dapat melihat bahwa untuk mencapai nilai terbesar, kita perlu memaksimalkan sin αsin β dan meminimalkan cos αcos β.

Dalam kasus ini, untuk memaksimalkan sin αsin β, kita ingin α dan β berada dalam kuadran yang sama sehingga keduanya memiliki tanda yang sama (positif atau negatif). Hal yang sama berlaku untuk meminimalkan cos αcos β, yaitu α dan β berada dalam kuadran yang sama agar keduanya memiliki tanda yang sama.

Dengan mempertimbangkan hal tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa untuk mencapai nilai terbesar x^2 + y^2, α harus sama dengan -β. Dengan demikian, jawabannya adalah:

A. α = – β + 45

Jadi, pilihan yang benar adalah A.