Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat ax^2 +bx+c=0, tunjukan bahwa: a.α^4+β^4=b^4-4ab^2c+2.... Question from @7YasminSigalingging

7YasminSigalingging @7YasminSigalingging

September 2018 1 64 Report

Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat ax^2 +bx+c=0, tunjukan bahwa:
a.α^4+β^4=b^4-4ab^2c+2a^2c^2
--------------------------------
a^2

b. (α-β)^2 = b^2-4ac
----------
a^2

Mausuf Persamaan kuadrat : $ax^2+bx+c=0$ dengan akar - akar $\alpha$ dan $\beta$ , maka diketahui:
$\alpha + \beta = - \frac{b}{a}$ dan $\alpha.\beta= \frac{c}{a}$
serta diketahui bahwa :
$(\alpha + \beta)^2=\alpha^2+2ab+\beta^2$
$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha \beta$
dan
$(\alpha +\beta)^4=\alpha^4+4\alpha^3\beta+6\alpha^2\beta^2+4\alpha \beta^3+\beta^4$
$(\alpha +\beta)^4=\alpha^4+\beta^4+4\alpha^3\beta+4\alpha \beta^3+6\alpha^2\beta^2$
$(\alpha +\beta)^4=\alpha^4+\beta^4+4\alpha\beta(\alpha^2+\beta^2)+6(\alpha\beta)^2$
$(\alpha +\beta)^4=\alpha^4+\beta^4+4\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta)+6(\alpha\beta)^2$
sehingga diperoleh bahwa :
$\alpha^4+\beta^4=(\alpha +\beta)^4-4\alpha\beta((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta)-6(\alpha\beta)^2$
dengan mensubstitusikan nilai yang diketahui, diperoleh :
$\alpha^4+\beta^4=( -\frac{b}{a} )^4-4( \frac{c}{a} )(( -\frac{b}{a} )^2-2( \frac{c}{a} ))-6( \frac{c}{a} )^2$
$\alpha^4+\beta^4=\frac{b^4}{a^4}-\frac{4b^2c}{a^3}+\frac{8c^2}{a^2}-\frac{6c^2}{a^2}$
$\alpha^4+\beta^4=\frac{b^4}{a^4}-\frac{4ab^2c}{a^4}+\frac{2a^2c^2}{a^4}$
$\alpha^4+\beta^4=\frac{b^4-4ab^2c-2a^2c^2}{a^4}$

berdasarkan rumus ABC (Rumus Al - Khawarizmi) untuk mencari akar - akar persamaan kuadrat, diketahui juga bahwa :
$\alpha = \frac{ -b+\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$
dan
$\beta = \frac{ -b-\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$
dengan demikian :
$\alpha - \beta = \frac{ -b+\sqrt{b^2-4ac} }{2a} - (\frac{ -b-\sqrt{b^2-4ac} }{2a})=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}+b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $=\frac{2\sqrt{b^2-4ac} }{2a}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$
kuadratkan kedua ruas sehingga didapatkan :
$(\alpha - \beta)^2=\frac{b^2-4ac}{a^2}$

Terima kasih, Semoga bisa membantu.

7YasminSigalingging Terima kasih.. :)