Question

Jika 3sinx+4cosy=5, maka nilai minimum 3cosx + 4siny adalah

Answer 1

Kelas: 11
Mapel: Matematika
Kategori: Trigonometri Lanjut
Kata Kunci: trigonometri, nilai minimum
Kode: 11.2.3 (Kelas 11 Matematika Bab 3-Trigonometri Lanjut)

3sin x+4cos y=5
kuadratkan kedua ruas
(3sin x+4cos y)²=5²
9sin² x+24sin x cos y+16cos² y=25

Identitas trigonometri: sin² x+cos²x=1

9(1-cos² x)+24sin x cos y+16(1-sin² y)=25
9-9cos² x+24sin x cos y+16-16sin² y=25
9+16-25+24sin x cos y=9cos² x+16sin² y
24sin x cos y=9cos²x+16sin² y ... (persamaan 1)

Misalkan yang ditanyakan:
P=3cos x+4sin y
kuadratkan kedua ruas
P²=(3cos x+4sin y)²
P²=9cos² x+24cos x sin y+16sin² y
P²=9cos² x+16sin² y+24cos x sin y ... (persamaan 2)

subtitusikan persamaan 1 ke persamaan 2, maka diperoleh:
P²=24 sin x cos y +24 cos x sin y
P²=24 (sin x cos y + cos x sin y)

ingat rumus sin penjumlahan sudut:
sin(x+y)=sin x cos y + cos x sin y

P²=24 sin(x+y)
P=±√(24sin(x+y))

ingat, nilai sin suatu sudut adalah  -1≤sinα≤1

untuk P minimum ambil nilai P negatif, dan masukkan nilai sin(x+y)=1
Pmin= -√24= -√(4×6)= -2√6

Semangat belajar!
Semoga membantu :)