Jika (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1) ... (2¹⁰²⁴ + 1)(2²⁰⁴⁸ + 1) = 2ˣ - y untuk suatu bilangan asli x.... Question from @adrielwigunaa

Nilai dari 10x + 9y adalah 40969.

PEMBAHASAN

Pangkat atau eksponen adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Bentuk berarti kita mengalikan bilangan a dengan bilangan a sebanyak n kali atau

$\underbrace{a^n=a\times a\times a\times...\times a}_{sebanyak~n~kali}$

dengan :

a = bilangan pokok/basis.

n = bilangan pangkat.

Operasi pada bilangan pangkat adalah sebagai berikut :

$(i)~a^b\times a^c=a^{b+c}$

$\displaystyle{(ii)~\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c} }$

$(iii)~(a^b)^c=a^{b\times c}$

$\displaystyle{(iv)~a^{-b}=\frac{1}{a^b} }$

$(v)~\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

DIKETAHUI

$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...(2^{1024}+1)(2^{2048}+1)=2^x-y$

x = bilangan asli

y = bilangan ganjil

DITANYA

Tentukan nilai dari 10x + 9y.

PENYELESAIAN

Kalikan kedua ruas dengan (2-1).

Gunakan rumus (a+b)(a-b) = a² - b².

Gunakan rumus $(a^b)^c=a^{(b\times c)}$

$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...(2^{1024}+1)(2^{2048}+1)=2^x-y~~...kedua~ruas\times(2-1)$

$(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...(2^{1024}+1)(2^{2048}+1)=(2^x-y)(2-1)$

$(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...(2^{1024}+1)(2^{2048}+1)=2^x-y$

$(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)...(2^{1024}+1)(2^{2048}+1)=2^x-y$

$(2^8-1)(2^8+1)...(2^{1024}+1)(2^{2048}+1)=2^x-y$

$(2^{1024}-1)(2^{1024}+1)(2^{2048}+1)=2^x-y$

$(2^{2048}-1)(2^{2048}+1)=2^x-y$

$2^{4096}-1=2^x-y$

Diperoleh :

x = 4096

y = 1

Sehingga :

$10x+9y=10(4096)+9(1)$

$10x+9y=40960+9$

$10x+9y=40969$

KESIMPULAN

Nilai dari 10x + 9y adalah 40969.

PELAJARI LEBIH LANJUT

Bilangan eksponen : brainly.co.id/tugas/33042119
Bilangan eksponen : brainly.co.id/tugas/38658150
Bilangan eksponen : brainly.co.id/tugas/30385074

DETAIL JAWABAN

Kelas : 9

Mapel: Matematika

Bab : Bilangan Berpangkat

Kode Kategorisasi: 9.2.1

4 votes Thanks 5

henriyulianto

$\large\text{$\begin{aligned}10x+9y=\boxed{\:\bf40969\:}\end{aligned}$}$
 

Pembahasan

Diketahui

$\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\dots\left(2^{1024}+1\right)\left(2^{2048}+1\right)=2^x-y$ dengan $x$ bilangan asli dan $y$ bilangan ganjil.

Ditanyakan
Nilai dari $10x + 9y$

PENYELESAIAN

Cara Pertama: Sistem Bilangan Biner

Bilangan biner merepresentasikan modulo-2 (basis 2) dari bilangan desimal. $1 = 2^0 = 1_{(2)}$ , tidak memiliki bit $0$ . $2 = 2^1 = 10_{(2)}$ , memiliki 1 buah bit $0$ . $2^2 = 100_{(2)}$ , memiliki 2 buah bit $0$ .
Oleh karena itu, $2^n$ memiliki $n$ buah bit $0$ pada bilangan binernya, sehingga:

$\large\text{$\begin{aligned}&{2}^{n}+1=1\underbrace{0000\dots0000}_{{\sf sebanyak\ }n-1}1_{(2)}\end{aligned}$}$

Pada "deret" perkalian di atas,

Suku pertama: $2+1=(10+1)_{(2)}=11_{(2)}$
Suku kedua: $2^2+1=101_{(2)}$

Perkaliannya akan menghasilkan:

$101\times11=101+1010=\bf1111_{(2)}$ .

$1111_{(2)}$ memiliki 4 buah bit 1, sehingga $1111_{(2)}$ adalah 1 kurangnya dari $10000_{(2)}$ , atau dengan kata lain, $2^4-1$ .

Jadi, $(2+1)(2^2+1) = \bf2^4-1$ .

Suku ketiga: $2^4+1=10001_{(2)}$

Perkalian dengan hasil sebelumnya menghasilkan:

$10001\times1111=10001+100010+1000100+10001000=\bf11111111_{(2)}$ .

$11111111_{(2)}$ memiliki 8 buah bit 1, sehingga $11111111_{(2)}$ adalah 1 kurangnya dari $100000000_{(2)}$ , atau dengan kata lain, $2^8-1$ .

Jadi, $(2+1)(2^2+1)(2^4+1)=2^8-1$ .

Perkalian dan hasil seperti itu akan berlanjut seterusnya hingga berapapun nilai pangkatnya. Hasilnya pasti 1 kurangnya dari kuadrat dari pangkat tertinggi dalam perkalian tersebut, karena bilangan pangkatnya adalah $2^n$ .

Sehingga:

$\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\dots\left(2^{1024}+1\right)\left(2^{2048}+1\right)=\bf2^{2\times2048}-1=2^{4096}-1.$

Oleh karena itu, dapat kita ambil $x=\bf4096$ , dan $y=\bf1$ .

Maka:
$\large\text{$\begin{aligned}10x+9y&=40960+9\\&=\boxed{\:\bf40969\:}\end{aligned}$}$
$\blacksquare$
..................................................

Cara Kedua: Aljabar

Kita tahu bahwa $2+1=2^2-1$ . Oleh karena itu,

$\begin{aligned}&\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\dots\left(2^{1024}+1\right)\left(2^{2048}+1\right)\\{=\ }&(2^2-1)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\dots\left(2^{1024}+1\right)\left(2^{2048}+1\right)\\&\rightsquigarrow\textsf{ingat }(a-b)(a+b)=a^2-b^2\\{=\ }&\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\dots\left(2^{1024}+1\right)\left(2^{2048}+1\right)\end{aligned}$
$\begin{aligned}{=\ }&\left(2^8-1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{{16}}+1\right)\dots\left(2^{1024}+1\right)\left(2^{2048}+1\right)\\{=\ }&\left(2^{16}-1\right)\left(2^{{16}}+1\right)\left(2^{{32}}+1\right)\dots\left(2^{1024}+1\right)\left(2^{2048}+1\right)\\{=\ }&\left(2^{32}-1\right)\left(2^{{32}}+1\right)\left(2^{{64}}+1\right)\dots\left(2^{1024}+1\right)\left(2^{2048}+1\right)\end{aligned}$
$\begin{aligned}{=\ }&\left(2^{64}-1\right)\left(2^{{64}}+1\right)\left(2^{{128}}+1\right)\dots\left(2^{1024}+1\right)\left(2^{2048}+1\right)\\{=\ }&\left(2^{128}-1\right)\left(2^{{128}}+1\right)\left(2^{{256}}+1\right)\left(2^{{512}}+1\right)\left(2^{1024}+1\right)\left(2^{2048}+1\right)\\{=\ }&\left(2^{256}-1\right)\left(2^{{256}}+1\right)\left(2^{{512}}+1\right)\left(2^{1024}+1\right)\left(2^{2048}+1\right)\end{aligned}$
$\begin{aligned}{=\ }&\left(2^{512}-1\right)\left(2^{{512}}+1\right)\left(2^{1024}+1\right)\left(2^{2048}+1\right)\\{=\ }&\left(2^{1024}-1\right)\left(2^{1024}+1\right)\left(2^{2048}+1\right)\\{=\ }&\left(2^{2048}-1\right)\left(2^{2048}+1\right)\\{=\ }&{\bf2^{4096}-1}\ \leftarrow2^x-y\end{aligned}$