Question

Jest mi w stanie ktoś rozwiązać to zadanie. Treść na zdjęciu poniżej. Ale proszę bez odpowiedzi z chatbota.

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Definicja

Niech [tex]f:(a,b) \to \mathbb{R}.[/tex] Mówimy ,że funkcja [tex]F: (a,b) \to \mathbb{R}[/tex] jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest funkcją różniczkowalną i [tex]F'=f,[/tex]  tzn.[tex]F'(x) = f(x)[/tex] dla wszystkich [tex]x \in (a,b).[/tex]

Rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy symbolem

[tex]\int {f} \ \textrm{lub} \int{f(x)} \, dx .[/tex]

Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f, to piszemy

[tex]\int {f} = F + C \ \textrm{lub} \int{f(x)} \, dx = F(x) + C,[/tex] gdzie C jest stałą całkowania.

Zanim sformułujemy twierdzenie, to wprowadźmy następujące oznaczenie; dla funkcji [tex]f,g:(a,b) \to \mathbb{R},[/tex] niech [tex]f \cdot g[/tex] oznacza iloczyn funkcji f i g, tzn.

[tex](f\cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)[/tex] dla [tex]x \in (a,b).[/tex]

Twierdzenie ( o całkowaniu przez części)

Jeżeli [tex]f,g:(a,b) \to \mathbb{R}[/tex] są funkcjami różniczkowalnymi i jedna z funkcji

[tex]f' \cdot g, f\cdot g'[/tex] ma funkcję pierwotną, to druga również i zachodzi wzór

[tex]\int {f\cdot g'} = f\cdot g - \int {f'\cdot g}.[/tex]

Dowód

Załóżmy, że funkcja [tex]f \cdot g'[/tex] ma funkcję pierwotną, którą oznaczmy przez [tex]F.[/tex] Rozważmy funkcję [tex]G = f \cdot g - F,[/tex] tzn. [tex]G(x) = f(x) \cdot g(x) - F(x)[/tex] dla [tex]x \in (a,b).[/tex] Wówczas G jest funkcją różniczkowalną oraz

[tex]G' = (f\cdot g - F)' = (f\cdot g)' - F' = f'\cdot g + f\cdot g' - F' = f'\cdot g + f\cdot g' - f\cdot g' = f'\cdot g.[/tex]

Warto zauważyć, że w przedostatniej równości skorzystaliśmy z faktu, że F jest funkcją pierwotną funkcji [tex]f \cdot g';[/tex] wówczas [tex]F' = f \cdot g'.[/tex]

Zatem funkcja G jest funkcją pierwotną funkcji [tex]f' \cdot g.[/tex]  W takim razie dostajemy

[tex]\int {f \cdot g'} = F + C = f \cdot g - G + C = f \cdot g - (G-C) = f \cdot g - \int {f' \cdot g},[/tex]

co kończy dowód.

Uwagi do ostatniego ciągu równości.

1. Skoro F jest funkcją pierwotną funkcji [tex]f \cdot g',[/tex] więc [tex]\int f\cdot g' = F + C[/tex].

2. Przekształcając wzór [tex]G = f \cdot g - F,[/tex] mamy że [tex]F = f \cdot g - G.[/tex]

3. Skoro G jest funkcją pierwotną funkcji [tex]f' \cdot g,[/tex] więc [tex]\int{f' \cdot g} = G - C.[/tex] Zwykle pisze się G + C, ale można również pisać G - C, gdyż znak stałej całkowania nie ma znaczenia.