Question

Jednorodny pręt o długości L i masie M może obracać się bez tarcią wokół sworznia umieszczonego w jednym z jego końców. Pręt jest zwolniony z horyzontalnego położenia początkowego, w którym spoczywa. Jaka jest szybkość kątowa, moment pędu pręta i prędkość liniowa środka masy pręta w jego najniższym położeniu ?

Answer 1

Moment bezwładności pręta względem jego końca (z tw. Steinera):

I = I₀ + M·d² = (1/12)·M·L² + M·(L/2)² = M·L²·(1/12 + 1/4) = (1/3)·M·L²

 

Z zasady zachowania energii:

Ep = Ek

M·g·h = I·ω²/2

M·g·L/2 = (1/3)·M·L²·ω²/2

ω = √(3·g/L)

 

Prędkość liniowa środka:

v = ω·r = √(3·g/L) · (L/2) = √(0.75·g·L)

 

Moment pędu względem osi obrotu:

L = I·ω = (1/3)·M·L²·√(3·g/L) = M·√(g·L³/3)