jawablah pertanyaan di atas dengan benar!.... Question from @asmayantisiti

asmayantisiti @asmayantisiti

August 2022 1 11 Report

jawablah pertanyaan di atas dengan benar!

henriyulianto

Verified answer

5. Nilai a adalah 2 (opsi e).

6. Nilai limit tersebut adalah 1. (opsi b)

7. Nilai (2a+b) adalah –18. (opsi b)

Pembahasan

Limit

Untuk ketiga soal tersebut, semua bentuk limitnya dianggap bentuk tak tentu, karena fungsi di dalam limit tak terdefinisi (tak kontinu) pada saat $x$ mendekati nilai-nilai yang disebutkan pada soal.
 

Nomor 5

$\begin{aligned}\lim_{x\to2}\:\frac{x^2-3x+a}{x-2}=1\\\end{aligned}$

Pada bentuk ini, limit memiliki nilai jika pembilang dapat difaktorkan oleh penyebut, atau fungsi pecahan tersebut bernilai 0/0 sehingga memenuhi syarat penerapan aturan L’Hopital, atau dengan cara pengolahan aljabar fungsi yang lain.

Cara Pertama

$x^2-3x+a$ habis dibagi $(x-2)$ . Oleh karena itu, $x^2-3x+a$ sama dengan $x^2-3x+2$ , karena $(x-2)(x-1) = x^2-3x+2$ .

∴ Dengan demikian, kita peroleh a = 2.

Cara Kedua

Dengan $x=2$ , bentuk 0/0 diperoleh dari $x^2-3x+a = 0$ . Kita substitusi nilai $x$ .

$\begin{aligned}0&=2^2-3\cdot2+a\\&=4-6+a\\&=-2+a\\\therefore\ a&=\boxed{\bf 2}\end{aligned}$

∴ Dengan demikian, kita peroleh a = 2.

KESIMPULAN

∴ Nilai a adalah 2. (opsi e)

Pemeriksaan

Jika $a = 2$ , maka:

$\begin{aligned}&\lim_{x\to2}\:\frac{x^2-3x+2}{x-2}\\{=\ }&\lim_{x\to2}\:\frac{\cancel{(x-2)}(x-1)}{\cancel{x-2}}\\{=\ }&\lim_{x\to2}\:(x-1)\\{=\ }&2-1\ =\ \bf1\\\rightsquigarrow\ &\sf benar!\end{aligned}$
$\blacksquare$
 

Nomor 6

$\begin{aligned}&\lim_{x\to1}\:\frac{(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x^3-1}\\{=\ }&\lim_{x\to1}\:\frac{x^3+x^2+x-\left(x^2+x+1\right)}{(x^3-1)}\\{=\ }&\lim_{x\to1}\:\frac{x^3+\cancel{x^2}-\cancel{x^2}+\cancel{x}-\cancel{x}-1}{x^3-1}\\{=\ }&\lim_{x\to1}\:\frac{\cancel{x^3-1}}{\cancel{x^3-1}}\\{=\ }&\lim_{x\to1}\:1\\{=\ }&\boxed{\ \bf1\ }\end{aligned}$

KESIMPULAN

∴ Nilai limit tersebut adalah 1. (opsi b)
$\blacksquare$
 

Nomor 7

$\begin{aligned}&\lim_{x\to2}\:\frac{a\sqrt{x+7}+b}{x-2}=3\end{aligned}$

$\begin{aligned}3&=\lim_{x\to2}\:\frac{a\sqrt{x+7}+b}{x-2}\\&=\lim_{x\to2}\:\frac{a\sqrt{x+7}+b}{(x+7)-9}\\&=\lim_{x\to2}\:\frac{a\sqrt{x+7}+b}{\left(\sqrt{x+7}-3\right)\left(\sqrt{x+7}+3\right)}\\&=\lim_{x\to2}\:\frac{a\sqrt{x+7}+b}{\sqrt{x+7}-3}\cdot\frac{1}{\sqrt{x+7}+3}\\\end{aligned}$

Bentuk terakhir dipilih dengan memperhatikan bahwa $\dfrac{1}{\sqrt{x+7}-3}$ tak terdefinisi pada saat $x\to2$ . Berdasarkan aturan perkalian pada limit bentuk tak tentu, dapat diperoleh:

$\begin{aligned}3&=\lim_{x\to2}\:\frac{a\sqrt{x+7}+b}{\sqrt{x+7}-3}\cdot\lim_{x\to2}\:\frac{1}{\sqrt{x+7}+3}\\&=\lim_{x\to2}\:\frac{a\sqrt{x+7}+b}{\sqrt{x+7}-3}\cdot\frac{1}{\sqrt{2+7}+3}\\&=\lim_{x\to2}\:\frac{a\sqrt{x+7}+b}{\sqrt{x+7}-3}\cdot\frac{1}{\sqrt{9}+3}\\&=\lim_{x\to2}\:\frac{a\sqrt{x+7}+b}{\sqrt{x+7}-3}\cdot\frac{1}{6}\\18&=\lim_{x\to2}\:\frac{a\sqrt{x+7}+b}{\sqrt{x+7}-3}\\\end{aligned}$

Dari persamaan terakhir, agar limit ada nilainya, yaitu 18, hasil bagi pembilang oleh penyebut harus sama dengan 18. Sehingga:

$\begin{aligned}{\bf a}\sqrt{x+7}+{\bf b}&=18\left(\sqrt{x+7}-3\right)\\&=18\sqrt{x+7}-54\\&={\bf18}\sqrt{x+7}+(\bf{-54})\\\Rightarrow\bf a=18,\ \bf b&=\bf-54\\\Rightarrow\quad\;\,\bf2a+b&=36-54=\boxed{\ \bf-18\ }\end{aligned}$