Znając wierzchołek jesteśmy w stanie zapisać wzór w postaci kanonicznej:
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]
Zbiór wartości funkcji kwadratowej
Do wyznaczenia zbioru wartości paraboli, musimy znać drugą współrzędną jej wierzchołka [tex]q[/tex]. Następnie patrzymy na współczynnik [tex]a[/tex].
Jeśli:
[tex]a > 0[/tex] ⇒ parabola ma ramiona skierowane w górę, a zbiór wartości to przedział [tex]\left < q, \infty)[/tex]
[tex]a < 0[/tex] ⇒ parabola ma ramiona skierowane w dół, a zbiór wartości to przedział [tex](-\infty, q \left >[/tex]
Monotoniczność funkcji kwadratowej
Wykres paraboli nie jest jednakowo monotoniczny w całej dziedzinie. Parabola jest monotoniczna przedziałami. Punktem granicznym jest pierwsza współrzędna wierzchołka [tex]p[/tex]. Aby wyznaczyć monotoniczność, należy narysować wykres funkcji i odczytać, w jakim przedziale funkcja rośnie, a w jakim maleje.
Nierówności kwadratowe
Aby rozwiązać nierówność kwadratową, musimy wyznaczyć miejsca zerowe i naszkicować rysunek pomocniczy. Następnie szukamy przedziałów, w których argumenty spełniają daną nierówność.
Współczynnik [tex]a > 0[/tex], więc ramiona skierowane są w górę. Tworzymy rysunek pomocniczy i zaznaczamy przedziały, w których argumenty przyjmują wartości większe lub równe 0 (w załączniku).
Zad. 6.
Wierzchołek: [tex]W=(2,4)[/tex]
Postać kanoniczna: [tex]f(x)=\frac{1}{2}(x-2)^2+4[/tex]
Zbiór wartości: [tex]\left(-\infty, 4\right >[/tex]
Zad. 7.
Rysunek w załączniku.
Monotoniczność:
Zad. 8.
[tex](x+3)(x-4)\geq 0\\\\dla\ x \in (-\infty, -3\left > \ \cup \left < 4,\infty)[/tex]
Funkcja kwadratowa
Dla paraboli opisanej wzorem [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] możemy wyznaczyć wierzchołek o współrzędnych [tex](p,q)[/tex] ze wzoru:
[tex]p=-\dfrac{b}{2a}\\\\\\q=-\dfrac{\Delta}{4a}[/tex]
Znając wierzchołek jesteśmy w stanie zapisać wzór w postaci kanonicznej:
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]
Zbiór wartości funkcji kwadratowej
Do wyznaczenia zbioru wartości paraboli, musimy znać drugą współrzędną jej wierzchołka [tex]q[/tex]. Następnie patrzymy na współczynnik [tex]a[/tex].
Jeśli:
Monotoniczność funkcji kwadratowej
Wykres paraboli nie jest jednakowo monotoniczny w całej dziedzinie. Parabola jest monotoniczna przedziałami. Punktem granicznym jest pierwsza współrzędna wierzchołka [tex]p[/tex]. Aby wyznaczyć monotoniczność, należy narysować wykres funkcji i odczytać, w jakim przedziale funkcja rośnie, a w jakim maleje.
Nierówności kwadratowe
Aby rozwiązać nierówność kwadratową, musimy wyznaczyć miejsca zerowe i naszkicować rysunek pomocniczy. Następnie szukamy przedziałów, w których argumenty spełniają daną nierówność.
Zad. 6.
Korzystamy ze wzorów:
[tex]f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+2\\\\a=-\frac{1}{2}, \ b=2, \ c=2\\\\p=-\frac{2}{2\cdot (-\frac{1}{2})}=2\\\\\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-\frac{1}{2})\cdot2=4+4=8\\\\q=\frac{-8}{4\cdot (-\frac{1}{2})}=\frac{8}{2}=4\\\\W=(2,4)[/tex]
Wyznaczamy postać kanoniczną:
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q=-\frac{1}{2}(x-2)^2+4[/tex]
Wyznaczamy zbiór wartości:
Zad. 7.
[tex]f(x)=-x^2+6x-3[/tex]
Wyznaczamy wierzchołek:
[tex]p=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{-2}=3\\\\q=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-(6^2-4\cdot(-1)\cdot(-3))}{-4}=\frac{36-12}{4}=4\\\\W=(3,6)[/tex]
Rysujemy wykres funkcji:
[tex]x=4\\\\y=-16+24-3=5\\\\x=5\\\\y=-25+30-3=2\\\\itd.[/tex]
Monotoniczność:
Zad. 8.
[tex](x+3)(x-4)\geq 0\\\\miejsca\ zerowe: \ x=-3, \ x=4[/tex]
Mnożymy nawiasy, by otrzymać po lewej stronie postać ogólną:
[tex]x^2-4x+3x-12\geq 0\\\\x^2-x-12\geq 0\\\\a=1[/tex]
Współczynnik [tex]a > 0[/tex], więc ramiona skierowane są w górę. Tworzymy rysunek pomocniczy i zaznaczamy przedziały, w których argumenty przyjmują wartości większe lub równe 0 (w załączniku).
Więc:
[tex](x+3)(x-4)\geq 0\\\\dla\ x\in (-\infty, -3 \left > \ \cup \ \right < 4, \infty)[/tex]
(przedziały muszą być domknięte, ponieważ dla x=-3 i x=4 otrzymujemy wartości równe 0)
#SPJ1