ja to robie by dać wam szansę zarobić.
a. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
b. Pokaż, że pierwiastek kwadratowy z liczby 2 jest liczbą niewymierną.
a. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
b. Pokaż, że pierwiastek kwadratowy z liczby 2 jest liczbą niewymierną.
a. Dowód nieskończonej ilości liczb pierwszych można przeprowadzić za pomocą dowodu przez sprzeczność. Załóżmy, że mamy skończoną listę liczb pierwszych, oznaczmy je jako p1, p2, ..., pn. Teraz stwórzmy nową liczbę q, która jest większa od wszystkich liczb pierwszych na tej liście. Wówczas q nie dzieli się przez żadną z tych liczb, co oznaczałoby, że musi być liczbą pierwszą. Ale to jest sprzeczne z założeniem, że mieliśmy pełną listę liczb pierwszych, co dowodzi, że zawsze istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza poza naszą listą.
b. Dowód irracjonalności pierwiastka kwadratowego z liczby 2 można przeprowadzić przez sprzeczność. Załóżmy, że √2 jest liczbą wymierną, co oznacza, że może być zapisana jako ułamek a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi bez wspólnych dzielników, a/b jest w najprostszej postaci. Kwadrat tej liczby to 2, więc (a/b)^2 = 2. Przemnóżmy obie strony przez b^2, co daje a^2 = 2b^2. Zauważmy, że lewa strona jest liczbą parzystą, więc a^2 również musi być liczbą parzystą. To oznacza, że a także musi być liczbą parzystą (ponieważ kwadrat liczby nieparzystej daje liczbę nieparzystą). Oznacza to, że możemy zapisać a jako 2k, gdzie k to inna liczba całkowita. Podstawiając to do równania otrzymujemy (2k)^2 = 4k^2 = 2b^2, co oznacza, że b^2 musi być liczbą parzystą. Skoro a i b są obie parzyste, to mają wspólny dzielnik 2, co jest sprzeczne z założeniem o najprostszej postaci a/b. Stąd √2 musi być liczbą niewymierną.
Verified answer
Liczb pierwszych, które są mniejsze od 1000, jest 168.