Question

Hola! Necesito resolución y procedimiento de un problema de aplicación de la función cuadrática. De antemano, les agradezco

En un medio de cultivo se introdujeron 500 bacterias que comienzan a reproducirse. Al cabo de cierto tiempo se modificó el medio y la cantidad de bacterias disminuyó. Se supone que el número de bacterias al cabo de t (tiempo en minutos) está dado por la función f(t) = - t² + 40t + 500

a) ¿Al cabo de cuántos minutos las bacterias alcanzaron su máximo? ¿Cuántas hubo en ese momento?
b) ¿Al cabo de cuántos minutos de iniciado el experimento comenzó a disminuír la población?
c) ¿Al cabo de cuántos minutos la población fue de 800 bacterias?
d) ¿Se extingue la población de bacterias? De ser así, ¿Cuándo?​

Answer 1

En un medio de cultivo se introdujeron 500 bacterias que comienzan a reproducirse. Su población esta determinado por la Forma estándar de una función cuadrática de la siguiente forma:

Una función cuadrática f(x)=a^{2} + bx+c se puede expresar en la forma estándar

f(x)=a(x-h)^{2}+k

Complementando los cuadrados. La gráfica de f es una parábola con vértice (h,k): la parábola se abre hacia arriba si "a" es mayor a 0 /esto implica que es un mínimo) o hacia abajo si "a" es menor a 0 (esto implica que es un máximo). (Te voy a adjuntar un gráfico de esta definición)

Tu ejercicio se puede resolver de varias formas, una y a mi parecer mas fácil es usando la definición anterior.

Tenemos la función

f(t) = - t² + 40t + 500

Esa se lleva forma estándar completando cuadrados:

f(t)=-(t-20)² + 900

Si lo desarrollas veras que es igual a la función origen.

los vértices son h=20 y k=900, y además "a" es menor a cero esto implica que es un máximo.

Pregunta a:

Con lo anterior expuesto se puede decir que las bacterias alcanza su máximo a los 20 min.

Pregunta b:

Para responder esta pregunta sin necesidad de hacer cálculos basta con saber como es la función gráficamente.

Con la función estándar y con los métodos de  gratificación, yo se que es una parábola desplazada 20 unidades a la derecha, invertida (porque hay un menos multiplicando) y desplazada 900 unidades hacia arriba. También se puede ver que f(0)=±50.

Entonces esta función primero no esta restringida por lo tanto se prolonga al infinito pues esta definida para todos los reales y segundo nunca alcanza un minino. (para ver lo mejor observa la imagen adjunta de como debería de verse esta función).

Pregunta c

solo sustituyes el valor de la siguiente forma:

800=-(t-20)² + 900 despeja t

t=30 min

Pregunta d

Fue respondida en la pregunta b, no se extingue la población.