Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak [tex]2\left|x+1\right|+x(x+1) \le 4[/tex] adalah: [tex]\left\{x\:\left|\:{\bf-2} \le x \le \bf\dfrac{\sqrt{17}-3}{2}\right.\right\}[/tex]
Nomor 2
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak [tex]\bigl||x|+3x\bigr| \le -2[/tex] adalah himpunan kosong, atau { }, atau ∅.
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Kita kerjakan dari soal yang paling mudah dulu.
Nomor 2
Diberikan pertidaksamaan: [tex]\bigl||x|+3x\bigr| \le -2[/tex]
Ruas kiri adalah nilai mutlak, tetapi ruas kanan negatif, alias bukan nilai mutlak. Maka jelas bahwa pertidaksamaan ini tidak memiliki solusi.
Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong. [tex]\blacksquare[/tex]
Nomor 1
Diberikan pertidaksamaan: [tex]2\left|x+1\right|+x(x+1) \le 4[/tex]
Penyelesaian
Langkah 1: Identifikasi Kemungkinan Solusi
Terdapat 2 kemungkinan, yaitu:
[tex]2(x+1)+x(x+1) \le 4[/tex] untuk [tex]x+1 \ge 0[/tex]
[tex]-2(x+1)+x(x+1) \le 4[/tex] untuk [tex]x+1 < 0[/tex]
Verified answer
Nomor 1
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak [tex]2\left|x+1\right|+x(x+1) \le 4[/tex] adalah:
[tex]\left\{x\:\left|\:{\bf-2} \le x \le \bf\dfrac{\sqrt{17}-3}{2}\right.\right\}[/tex]
Nomor 2
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak [tex]\bigl||x|+3x\bigr| \le -2[/tex] adalah himpunan kosong, atau { }, atau ∅.
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Kita kerjakan dari soal yang paling mudah dulu.
Nomor 2
Diberikan pertidaksamaan:
[tex]\bigl||x|+3x\bigr| \le -2[/tex]
Ruas kiri adalah nilai mutlak, tetapi ruas kanan negatif, alias bukan nilai mutlak. Maka jelas bahwa pertidaksamaan ini tidak memiliki solusi.
Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.
[tex]\blacksquare[/tex]
Nomor 1
Diberikan pertidaksamaan:
[tex]2\left|x+1\right|+x(x+1) \le 4[/tex]
Penyelesaian
Langkah 1: Identifikasi Kemungkinan Solusi
Terdapat 2 kemungkinan, yaitu:
Langkah 2a: Menyelesaikan Kemungkinan Pertama
Untuk [tex]x+1 \ge 0 \implies x \ge -1[/tex]:
[tex]\begin{aligned}&2(x+1)+x(x+1) \le 4\\&\Rightarrow 2x+2+x^2+x \le 4\\&\Rightarrow x^2+3x+2 \le 4\\&\Rightarrow x^2+3x \le 4\\&\Rightarrow x^2+3x+\frac{9}{4} \le 4+\frac{9}{4}\\&\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2}\right)^2 \le \frac{17}{4}\\\end{aligned}[/tex]
Ingat bahwa jika [tex]u^n \le a[/tex] dengan [tex]n[/tex] bilangan bulat genap, maka solusinya adalah:
[tex]-\sqrt[n]{a} \le u \le \sqrt[n]{a}[/tex]
Oleh karena itu:
[tex]\begin{aligned}&-\sqrt{\frac{17}{4}} \le x+\frac{3}{2} \le \sqrt{\frac{17}{4}}\\&\Rightarrow -\frac{\sqrt{17}}{2} \le x+\frac{3}{2} \le \frac{\sqrt{17}}{2}\\&\Rightarrow -\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{3}{2} \le x \le \frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{3}{2}\\&\Rightarrow -\frac{\sqrt{17}+3}{2} \le x \le \frac{\sqrt{17}-3}{2}\end{aligned}[/tex]
Daerah irisan dengan [tex]x \ge -1[/tex]:
[tex]\begin{aligned}&\left[-\frac{\sqrt{17}+3}{2},\ \frac{\sqrt{17}-3}{2}\right]\:\cap\:\left[-1,\infty\right)\\&{=\ }\left[-1,\ \frac{\sqrt{17}-3}{2}\right]\end{aligned}[/tex]
Jadi, himpunan penyelesaian untuk kemungkinan pertama adalah:
[tex]A=\left\{x\:\left|\:-1 \le x \le \dfrac{\sqrt{17}-3}{2}\right.\right\}[/tex]
Langkah 2b: Menyelesaikan Kemungkinan Kedua
Untuk [tex]x+1 < 0 \implies x < -1[/tex]:
[tex]\begin{aligned}&{-}2(x+1)+x(x+1) \le 4\\&\Rightarrow -2x-2+x^2+x \le 4\\&\Rightarrow x^2-x-2 \le 4\\&\Rightarrow x^2-x-6 \le 0\\&\Rightarrow (x+2)(x-3) \le 0\\\end{aligned}[/tex]
[tex](x+2)(x-3)=(-)(-) = (+) > 0[/tex]
[tex](x+2)(x-3) = 0[/tex]
[tex](x+2)(x-3)=(+)(-) = (-) < 0[/tex]
[tex](x+2)(x-3) = 0[/tex]
[tex](x+2)(x-3)=(+)(+) = (+) > 0[/tex]
Maka: [tex]-2 \le x \le 3[/tex].
Daerah irisan dengan [tex]x < -1[/tex]:
[tex][-2,3]\cup(\infty,-1)=[-2,-1)[/tex]
Jadi, himpunan penyelesaian untuk kemungkinan kedua adalah:
[tex]B=\left \{ x\mid-2 \le x < -1 \right \}[/tex]
Langkah 3: Menentukan Solusi Final
Solusi dari pertidaksamaan yang diberikan adalah daerah gabungan (union) dari penyelesaian kemungkinan pertama dan kedua, yaitu:
[tex]\begin{aligned}&{\bf HP}\:=\:A\cup B\:=\:B\cup A\\&{=\ }\left \{ x\mid-2 \le x < -1 \right \}\:\cup\:\left\{x\:\left|\:-1 \le x \le \frac{\sqrt{17}-3}{2}\right.\right\}\\&{=\ }\left\{x\:\left|\:{\bf-2} \le x \le \bf\frac{\sqrt{17}-3}{2}\right.\right\}\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]