Question

hapus aja terus... akun gua hapus aja sekalian puas!

pertanyaan :

Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedangkan kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1.440 kg. harga tiket kelas utama Rp150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah …​

Answer 1

Misalkan x adalah jumlah penumpang kelas utama dan y adalah jumlah penumpang kelas ekonomi.

Perhatikan bahwa jumlah penumpang tidak mungkin negatif, sehingga akan kita dapatkan:

x ≥ 0, y ≥ 0

Karena hanya tersedia 48 kursi, maka jumlah keseluruhan maksimal penumpang (baik kelas utama maupun kelas ekonomi) adalah 48. Sehingga, dapat diformulasikan ke dalam pertidaksamaan:

x + y ≤ 48

Karena setiap penumpang kelas utama bisa membawa maksimal 60 kg barang dan penumpang kelas ekonomi bisa membawa maksimal 20 kg, tetapi batas maksimum bagasi hanyalah 1440 kg, maka dapat diformulasikan ke dalam pertidaksamaan:

60x + 20y ≤ 1440

jika disederhanakan dengan dibagi oleh 20, maka akan kita dapatkan pertidaksamaan

3x + y ≤ 72

Karena tujuan kita adalah mendapatkan keuntungan maksimum, ketika pesawat penuh, maka dapat diformulasikan fungsi objektif dengan pendapatan yang sesuai dengan kelasnya sebagai:

f(x, y) = 150000x + 100000y

Jadi, akan kita dapatkan model matematika sebagai berikut:

z = f(x, y) = 150000 + 100000y

x + y ≤ 48

3x + y ≤ 72

x ≥ 0, y ≥ 0

Keuntungan maksimum bisa didapatkan dengan menyelidiki titik kritis (perhatikan lampiran). Singkatnya, titik kritis adalah perpotongan persamaan garis seandainya pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas diubah menjadi sistem persamaan.

Akan didapatkan empat buah titik kritis, yaitu ketika

1. (x, y) = (0, 0) → titik kiri bawah

2. (x, y) = (0, nilai y) → titik kiri atas

3. (x, y) = (nilai x, 0) → titik kanan bawah

4. (x, y) = (nilai x, nilai y)  → titik kanan atas

===

kasus 1

Misalkan x = y = 0, maka f(x, y) = f(0, 0) = 1500000(0) + 100000(0) = 0

kasus 2

Misalkan x = 0, maka

x + y ≤ 48 → 0 + y ≤ 48 → y ≤ 48

3x + y ≤ 72 → 3(0) + y ≤ 72 → y ≤ 72

maka, nilai y maksimum yang memenuhi adalah 48, sehingga

f(x, y) = f(0, 48) = 150000(0) + 100000(48) = 4800000

kasus 3

Misalkan y = 0

x + y ≤ 48 → x + 0 ≤ 48 → x ≤ 48

3x + y ≤ 72 → 3x + 0 ≤ 72 → 3x ≤ 72 → x ≤ 72/3 → x ≤ 24

Jadi, nilai x maksimum yang memenuhi adalah 24, sehingga

f(x, y) = f(24, 0) = 150000(24) + 100000(0) = 3600000

kasus 4

Misalkan x, y ≠ 0, kita dapat mencari nilai x dan y dengan mencari titik potong dari x + y = 48 dan 3x + y = 72

x + y = 48

x = 48 - y

maka,

3x + y = 72

3(48 - y) + y = 72

144 - 3y + y = 72

-2y = -72

y = 36

x = 48 - y = 48 - 36 = 12

Jadi, kita dapatkan (x, y) = (12, 36), sehingga

f(x, y) = f(12, 36) = 150000(12) + 100000(36) = 5400000

===

Perhatikan berdasarkan keseluruhkan kasus, kita akan mendapatkan:

f(0, 0) = 0

f(0, 48) = 4800000

f(24, 0) = 3600000

f(12, 36) = 5400000

Berdasarkan pengerjaan di atas, maka pendapatan maksimum dapat diperoleh ketika pesawat penuh dengan 12 penumpang kelas utama dan 36 penumpang kelas ekonomi.

Jadi, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah 12.