Nos quedo un ecuación que depende del coseno, donde tiene la forma de un trinomio cuadrado. Si prestamos atención solo a los coeficientes para poder factorizarlo, obtenemos lo siguiente:
[tex](2Cos(x)+1)(Cos(x)+3)=0[/tex]
*Esta factorización es equivalente a: [tex]2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)[/tex]
Ahora, aplicamos teorema del factor nulo, que es igualar cada factor con 0, y despejar x:
[tex](1): 2Cos(x)+1=0\\(2): Cos(x)+3=0[/tex]
Para el factor (2), no es posible obtener valores de x que satisfagan esa ecuación, ya que Cos(x) solo varía de -1 a 1, con lo que al sumarle 3, no es posible dar 0.
Esta sería la manera de poner todas las respuestas (ya que se trata de una ecuación trigonométrica). Pero como 0≤x≤π, el único valor que puede tomar x es:
[tex]x=\frac{2\pi}{3}, 0\leq x\leq \pi[/tex]
Respuesta x= 2π/3
Espero haberte explicado bien, Saludos!
2 votes Thanks 1
gabysilva
Muchísimas gracias, en serio me ha salvado <3
Verified answer
Respuesta:
x= 2π/3
Explicación paso a paso:
Hola! la expresión de tu problema es:
[tex]log_{Sen(x)-Cos(x)}(Cos(2x)-Sen(2x)+7Cos(x)+5)=2[/tex]
Primero, aplicando la definición de logaritmo: [tex]log_{b}a=c<--->b^{c}=a[/tex]
[tex](Sen(x)-Cos(x))^2=Cos(2x)-Sen(2x)+7Cos(x)+5[/tex]
Ahora, resolviendo el binomio al cuadrado:
[tex]Sen^2(x)-2Sen(x)Cos(x)+Cos^2(x)=Cos(2x)-Sen(2x)+7cos(x)+5[/tex]
Aplicando la identidad ángulo doble: [tex]Sen(2\theta)=2Sen(\theta)Cos(\theta)[/tex]
[tex]Sen^2(x)-2Sen(x)Cos(x)+Cos^2(x)=Cos(2x)-2Sen(x)Cos(x)+7cos(x)+5\\\\Sen^2(x)+Cos^2(x)=Cos(2x)+7cos(x)+5[/tex]
Aplicando ahora identidad pitagórica: [tex]Sen^2(\theta)+Cos^2(\theta)=1[/tex]
[tex]1=Cos(2x)+7Cos(x)+5\\\\0=Cos(2x)+7Cos(x)+4\\\\Cos(2x)+7Cos(x)+4=0[/tex]
Aplicando la identidad ángulo doble: [tex]Cos(2\theta)=2Cos^2(\theta)-1[/tex]
[tex]2Cos^2(x)-1+7Cos(x)+4=0\\\\2Cos^2(x)+7Cos(x)+3=0[/tex]
Nos quedo un ecuación que depende del coseno, donde tiene la forma de un trinomio cuadrado. Si prestamos atención solo a los coeficientes para poder factorizarlo, obtenemos lo siguiente:
[tex](2Cos(x)+1)(Cos(x)+3)=0[/tex]
*Esta factorización es equivalente a: [tex]2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)[/tex]
Ahora, aplicamos teorema del factor nulo, que es igualar cada factor con 0, y despejar x:
[tex](1): 2Cos(x)+1=0\\(2): Cos(x)+3=0[/tex]
Para el factor (2), no es posible obtener valores de x que satisfagan esa ecuación, ya que Cos(x) solo varía de -1 a 1, con lo que al sumarle 3, no es posible dar 0.
Así que solo analizamos el factor (1):
[tex]2Cos(x)+1=0\\\\Cos(x)=-\frac{1}{2}\\\\x=arcCos(-\frac{1}{2} )\\\\x=\frac{2(3n\pm 1)\pi}{3}, n\epsilon Z[/tex]
Esta sería la manera de poner todas las respuestas (ya que se trata de una ecuación trigonométrica). Pero como 0≤x≤π , el único valor que puede tomar x es:
[tex]x=\frac{2\pi}{3}, 0\leq x\leq \pi[/tex]
Respuesta x= 2π/3
Espero haberte explicado bien, Saludos!