Question

Hallar la ecuacion general de la circunferencia que pasa por el punto A(7, - 5) y es tangente a la recta x-y-4 igual a 0 en el punto B(3,-1)

Answer 1

Al decir que la recta es tangente, significa que una línea perpendicular a ésta pasa por el centro, entonces determinamos la ecuación de la recta perpendicular:
m=-1/(-1)=1
m'=-1/m=-1
y+1=-1(x-3)
y+1=-x+3
x+y-2=0 (Ec. 1)

Ahora, tomamos AB como el lado de un triángulo, entonces determinamos su mediatriz (punto medio y pendiente perpendicular)
Pm=(3+7/2,-5-1/2)=(5,-3)
m=(-1+5)/(3-7)=4/(-4)=-1
m'=-1/-1=1
y+3=x-5
x-y-8=0 (Ec. 2)

Hacemos un sistema de ecuaciones con las marcadas, donde:
x=5, y=-3
Entonces, el centro es (5,-3)

Sacamos el radio, el cual es la distancia del centro a (7,-5) o a (3,-1)
r=√(5-7)^2+(-3+5)^2=√(4+4)=2√2

La fórmula de la circunferencia es:
(x-5)^2+(y+3)^2=(2√2)^2
Elevamos, simplificamos e igualamos 0:
x^2-10x+25+y^2+6y+9=8
x^2+y^2-10x+6y+26=0