Hallar la ecuación de centro en el origen que pase por (5,0).... Question from @SoyDivergente25

marloneduardoguerra Método por desarrollo

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será

(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3)

entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como

(x ─ 2) 2 + (y ─ ─ 3) 2 = 5 2

(x ─ 2) 2 + (y + 3) 2 = 5 2

(x ─ 2) 2 + (y + 3) 2 = 25

Nota: algunos usan otras letras, como (x ─ h) 2 + (y ─ k) 2

Sigamos.

Tenemos nuestra ecuación ordinaria

(x ─ 2) 2 + (y + 3) 2 = 25

y desarrollamos sus dos binomios:

(x ─ 2) (x ─ 2) + (y + 3) (y + 3) = 25

(x 2 ─ 2x ─ 2x + 4) + (y 2 + 3y + 3y + 9) = 25

(x 2 ─ 4x + 4) + (y 2 + 6y + 9) = 25

Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general:

x 2 + y 2 ─ 4x + 6y + 4 + 9 ─ 25 = 0

x 2 + y 2 ─ 4x + 6y ─ 12 = 0

que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2, ─3 y cuyo radio es 5.

Método con las fórmulas conocidas

Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas

Si entonces D = ─ 2a

Si entonces E = ─ 2b

Si entonces F = a 2 + b 2 ─ r 2

Recordemos que C (2, ─3) corresponde a C (a, b)

Entonces, hacemos:

F = 4 + 9 ─ 25 = ─12

Si recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos

x 2 + y 2 + ─4x + 6y + ─12 = 0

x 2 + y 2 + ─4x + 6y ─12 = 0

obtenemos la misma ecuación general de la circunferencia que logramos mediante el método del desarrollo.

Ahora, hagamos algunos ejercicios

Ejercicio 1

Encuentre la ecuación general de la circunferencia cuyo centro está en las coordenadas y que tiene un radio igual a

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