Question

Hallar el area de un rectangulo cuya base y altura son respectivamente el lado y la apotema de un pentagono inscrito en una circunsferencia de radio r

Answer 1

El triángulo que se forma entre dos radios trazados a dos vértices consecutivos del pentágono es isósceles, donde sus lados iguales son los dos radios "r" y el lado desigual es el lado del pentágono, ok?

Centrándonos en ese triángulo...
Si trazamos su altura estamos dibujando la apotema del pentágono, ok?

Pues teniendo todo eso claro, lo primero que hay que calcular es el valor del ángulo central del pentágono (que entiendo será REGULAR) aunque no lo dice el texto.

Dividiendo el ángulo total de la circunferencia 360º entre 5 ángulos iguales que tiene el pentágono:

360 : 5 = 72º

La altura del triángulo mencionado antes divide ese ángulo en otros dos ya que al ser isósceles, la altura es la bisectriz. Veamos su valor:

72 : 2 = 36º es el valor del ángulo mitad del ángulo central, ok?

Pues fíjándonos ahora en el triángulo rectángulo que se forma entre esa altura, el radio y la mitad del lado del pentágono, conocemos un ángulo de los dos agudos y conocemos la hipotenusa que es el radio "r".

Recurriendo a la función seno y coseno se calcula el valor del cateto opuesto al ángulo (mitad de lado) y del cateto contiguo (apotema)

Sen.36º = cat. opuesto / hipotenusa... despejando cat. opuesto...
Cat. opuesto = Sen 36º (0,59) × r  = 0,59r
(aproximando por exceso en las centésimas del valor del seno)
Como eso es la mitad del lado, multiplicando por 2 sabemos lo que mide el lado del pentágono:

0,59r × 2 = 1,18r es lo que mide el lado, por tanto es lo que mide la base del rectángulo cuya área nos pide.

Del mismo modo...
Cos.36º = cat. contiguo / hipotenusa ... despejando cat. contiguo...
Cat. contiguo = Cos 36º (0,81) × r = 0,81r es la altura del mismo rectángulo.

El área será el producto: 1,18r × 0,81r = 0,95r²  es la respuesta.

Saludos.