MATURALNE, proszę o pomoc!
——————————————————----------------------------------------
Na rysunku przedstawiono plan pewnego terenu (załącznik 1).
Z punktu A do punktu B można dojść polną drogą przez punkt D lub łąką bezpośrednio z A do B albo najkrótszą trasą przez łąkę do punktu C, leżącego na szosie, i dalej szosą do punktu B.
Na podstawie mapy terenu wymodelowano kształt polnej drogi w kartezjańskim układzie współrzędnych XOY za pomocą fragmentu wykresu funkcji f(x)= -x^2 + 2x + 3. Punkt C pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, szosa leży na osi OX, jednostki na obu osiach odpowiadają 1 kilometrowi. Punkt D jest wierzchołkiem paraboli. (wykres w załączniku 2)
Zadanie 1:
Piechur powędrował polną drogą od punktu A przez punkt D do punktu B.
Oblicz, jaka była największa odległość piechura od szosy podczas wędrówki (przyjmij, ze odległość punktu pobytu piechura na polnej drodze od szosy to odległość punktu na paraboli od prostej BC). Zapisz obliczenia
Zadanie 2:
Oblicz, ile minut (z dokładnością do 1 minuty) zajmie piechurów wędrówka łąką bezpośrednio z A do B, a ile będzie trwać wędrówka najpierw najkrótszą trasą przez łąkę do punktu C, leżącego na szosie, i dalej szosą do punktu B. Przyjmij, ze po szosie piechur porusza się z prędkością 5 km/h, a po łące - z prędkością 3 km/h. Zapisz obliczenia.
Proszę o wyjaśnienie.
——————————————————----------------------------------------
Na rysunku przedstawiono plan pewnego terenu (załącznik 1).
Z punktu A do punktu B można dojść polną drogą przez punkt D lub łąką bezpośrednio z A do B albo najkrótszą trasą przez łąkę do punktu C, leżącego na szosie, i dalej szosą do punktu B.
Na podstawie mapy terenu wymodelowano kształt polnej drogi w kartezjańskim układzie współrzędnych XOY za pomocą fragmentu wykresu funkcji f(x)= -x^2 + 2x + 3. Punkt C pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, szosa leży na osi OX, jednostki na obu osiach odpowiadają 1 kilometrowi. Punkt D jest wierzchołkiem paraboli. (wykres w załączniku 2)
Zadanie 1:
Piechur powędrował polną drogą od punktu A przez punkt D do punktu B.
Oblicz, jaka była największa odległość piechura od szosy podczas wędrówki (przyjmij, ze odległość punktu pobytu piechura na polnej drodze od szosy to odległość punktu na paraboli od prostej BC). Zapisz obliczenia
Zadanie 2:
Oblicz, ile minut (z dokładnością do 1 minuty) zajmie piechurów wędrówka łąką bezpośrednio z A do B, a ile będzie trwać wędrówka najpierw najkrótszą trasą przez łąkę do punktu C, leżącego na szosie, i dalej szosą do punktu B. Przyjmij, ze po szosie piechur porusza się z prędkością 5 km/h, a po łące - z prędkością 3 km/h. Zapisz obliczenia.
Proszę o wyjaśnienie.
1. Największą odległością jak widać na wykresie jest wierzchołek paraboli, czyli punkt D, który jest jej wierzchołkiem.
Wzór na współrzędną Y wierzchołka paraboli
[tex]q = \frac{-\Delta}{4a}[/tex]
Liczymy deltę
[tex]\Delta = b^2 - 4ac[/tex]
[tex]\Delta = 2^2 - 4 \cdot -1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16[/tex]
Obliczamy wierzchołek
[tex]q = \frac{-16}{-4} = 4[/tex]
2. Mamy drogę i mamy prędkość. Obliczamy sobie czas ze wzoru
[tex]t = \frac{s}{v}[/tex]
Wiemy, że polną drogą idzie z prędkością 3 km/h.
Punkt A (piechur) znajduje się we współrzędnych (0, 3), a punkt B znajduje się we współrzędnych (3, 0)
Liczymy odległość punktu A od punktu B.
[tex]|AB| = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{18}[/tex]
Znamy już drogę, zatem podstawiamy do wzoru.
[tex]t = \frac{\sqrt{18}}{3} = \sqrt{2} = 1h[/tex]
Wiemy więc, że bezpośrednio przez łąkę przejdzie w ciągu 1 godziny czyli w 60 minut.
Teraz liczymy odcinek |AC| i |CB|
[tex]|AC| = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{9} = 3[/tex]
[tex]|CB| = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{9} = 3[/tex]
Przez odcinek AC szedł 3km/h, a przez odcinek CB szedł 5 km/h.
Zatem odcinek AC pokonał w ciągu 60 minut.
Odcinek CB pokonał w ciągu
[tex]\frac{3}{5} = 0,6h = 36 \ min[/tex]
Zatem przejście najkrótszą trasą przez łąkę do punktu C, a następnie szosą do punktu B zajmie mu 96 minut.