odległość między miastami a i b jest równa 45 km. pociąg pokonuje te trase ze średnią prędkością v w czasie t. gdyby jechał z prędkością większą o 25km/h to dojechałby do miasta b o 18min wcześniej. gdyby jechał z prędkośćią o 5km/h mniejszą to przyjechałby do miasta b o 6min później. oblicz v i t
Odpowiedź:
[tex]V=50\ \frac{km}{h}\\\\t=54\ min[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]s=45\ km\\V=?\\t=?\\V_1=V+25\\18\ min=\frac{18}{60}\ h=\frac{3}{10}\ h=0,3\ h\\t_1=t-0,3\\V_2=V-5\\6\ min=\frac{6}{60}\ h=\frac{1}{10}\ h=0,1\ h\\t_2=V+0,1[/tex]
Skorzystamy ze wzoru:
[tex]V=\frac{s}{t}\\V*t=s[/tex]
Mamy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{l}(V+25)*(t-0,3)=45\\(V-5)*(t+0,1)=45\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}(V+25)*(t-0,3)=(V-5)*(t+0,1)\\(V-5)*(t+0,1)=45\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}Vt-0,3V+25t-7,5=Vt+0,1V-5t-0,5\\(V-5)*(t+0,1)=45\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}30t=0,4V+7\ |*5\\(V-5)*(t+0,1)=45\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}150t=2V+35\ |:150\\(V-5)*(t+0,1)=45\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}t=\frac{2V+35}{150}\\(V-5)*(t+0,1)=45\end{array}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}t=\frac{2V+35}{150}\\(V-5)*\left(\frac{2V+35}{150}+\frac{15}{150}\right)=45\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}t=\frac{2V+35}{150}\\(V-5)*\frac{2V+50}{150}=45\ |*150\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}t=\frac{2V+35}{150}\\(V-5)*(2V+50)=6750\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}t=\frac{2V+35}{150}\\2V^2+50V-10V-250=6750\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}t=\frac{2V+35}{150}\\2V^2+40V-7000=0\ |:2\end{array}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}t=\frac{2V+35}{150}\\V^2+20V-3500=0\end{array}\right.\\\\\Delta=20^2-4*1*(-3500)=400+14000=14400\\\\\sqrt\Delta=120\\\\V_1=\frac{-20-120}{2}=\frac{-140}{2}=-70 < 0\quad\text{odrzucam}\\\\V_2=\frac{-20+120}{2}=\frac{100}{2}=50\\\\\left\{\begin{array}{l}t=\frac{2*50+35}{150}\\V=50\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}t=\frac{135}{150}\\V=50\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}t=\frac{9}{10}\\V=50\end{array}\right.[/tex]
[tex]t=\frac{9}{10}\ h=\frac{9}{10}*60\ min=\frac{9}{1}*6\ min=54\ min[/tex]