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Un jugador de futbol soccer dispara el balón a una velocidad de 122 km/h con una elevación de 32°. El balón realiza una trayectoria parabólica, calcular:
a) El tiempo que dura en el aire
b) La altura máxima alcanzada por el balón
c) El alcance horizontal de este
Un jugador de futbol soccer dispara el balón a una velocidad de 122 km/h con una elevación de 32°. El balón realiza una trayectoria parabólica, calcular:
a) El tiempo que dura en el aire
b) La altura máxima alcanzada por el balón
c) El alcance horizontal de este
El tiempo de vuelo del balón es de 3.67 segundos La altura máxima alcanzada por este es de 16.46 metros. Siendo su alcance máximo de 105.34 metros
Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.
Convertimos la velocidad inicial de kilómetros por hora (km/h) a metros por segundo (m/s)
Dado que 1 kilómetro equivale a 1000 metros y en 1 hora se tienen 3600 segundos:
[tex]\boxed{ \bold{ V_{0} = 122 \ \frac{\not km }{\not h} \ . \left( \frac{1000 \ m }{1\not km}\right) \ . \left( \frac{1\not h}{3600 \ s} \right) = \frac{122000 }{3600 } \ \frac{m}{s} = 33.89 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
a) Tiempo de vuelo o de permanencia en el aire
La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large\textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (33.89 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (32^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{67.78\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.529919264233 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{67.78\ \ . \ 0.529919264233 }{9.8 \ } \ s }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{35.917927729713 }{9.8 \ } \ s }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =3.66509\ segundos }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t _{v} =3.67 \ segundos }}[/tex]
El tiempo de vuelo del balón es de 3.67 segundos
b) Altura máxima
La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(33.89 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (32^o) }{2 \ . \ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1148.53\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.529919264233)^{2} }{19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1148.53 \ . \ 0.28081442660524 }{ 19.6\ } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 322.523793388921006 }{ 19.6 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} = 16.45529\ metros }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} =16.46\ metros }}[/tex]
La altura máxima que alcanza el balón es de 16.46 metros
c) Alcance máximo u horizontal
La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 33.89 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 32^o ) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 1148.53 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (64^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 1148.53 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.898794046299 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 1148.53 \ . \ 0.898794046299 }{ 9.8 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{1032.29192599579 }{ 9.8 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =105.3359\ metros }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} = 105.34 \ metros }}[/tex]
El alcance máximo del balón es de 105.34 metros
Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento
Como se puede apreciar se describe una parábola