Question

Gunakan metode eliminasi untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
1.
X - 3y + 2z = 9
2x + 4y - 3z = -9
3x - 2y + 5z = 12
2.
3p - 2q + r = -1
2p + q - 2r = 23
-p + 3q + r = 6


​

Answer 1

NOMOR 1.

• x - 3y + 2z = 9 .................................. persamaan (1)
• 2x + 4y - 3z = -9 .............................. persamaan (2)
• 3x - 2y + 5z = 12 .............................. persamaan (3)

Dieliminasikan nilai x pada persamaan (1) dan (2) untuk menyisakan nilai y dan nilai z.

• x - 3y + 2z = 9 .................................. dikalikan 2
• 2x + 4y - 3z = -9 .............................. dikalikan 1
• 2x - 6y + 4z = 18
• 2x + 4y - 3z = -9 _
• >> -10y + 7z = 27 ............................. persamaan (4)

Dieliminasikan nilai x pada persamaan (1) dan (3) untuk menyisakan nilai y dan nilai z.

• x - 3y + 2z = 9 ................................. dikalikan 3
• 3x - 2y + 5z = 12 ............................. dikalikan 1
• 3x - 9y + 6z = 27
• 3x - 2y + 5z = 12 _
• >>>> -7y + z = 15 ............................ persamaan (5)

Dieliminasikan nilai y pada persamaan (4) dan (5) untuk mengetahui nilai z.

• -10y + 7z = 27 ................................ dikalikan (-7)
• -7y + z = 15 ..................................... dikalikan (-10)
• 70y - 49z = -189
• 70y - 10z = -150 _
• >>>> -39z = -39
• >>>> z = (-39)/(-39)
• >>>> z = 1

Dieliminasikan nilai z pada persamaan (4) dan (5) untuk mengetahui nilai y.

• -10y + 7z = 27 ................................ dikalikan 1
• -7y + z = 15 ..................................... dikalikan 7
• -10y + 7z = 27
• -49y + 7z = 105 _
• >>>> 39y = -78
• >>>> y = -78/39
• >>>> y = -2

Setelah mengetahui nilai y = -2 dan nilai z = 1, kemudian substitusikan pada persamaan (1) untuk mengetahui nilai x.

• x - 3y + 2z = 9
• x - 3(-2) + 2(1) = 9
• x - (-6) + 2 = 9
• x + 6 + 2 = 9
• x + 8 = 9
• x = 9 - 8
• x = 1

Jadi, himpunan penyelesaian tersebut adalah

• {x , y , z} = {1 , -2 , 1}.

NOMOR 2.

• 3p - 2q + r = -1 .................................. persamaan (1)
• 2p + q - 2r = 23 ............................... persamaan (2)
• -p + 3q + r = 6 .................................. persamaan (3)

Dieliminasikan nilai p pada persamaan (1) dan (2) untuk menyisakan nilai q dan nilai r.

• 3p - 2q + r = -1 ................................. dikalikan 2
• 2p + q - 2r = 23 ............................... dikalikan 3
• 6p - 4q + 2r = -2
• 6p + 3q - 6r = 69 _
• >>> -7q + 8r = -71 ............................ persamaan (4)

Dieliminasikan nilai p pada persamaan (1) dan (3) untuk menyisakan nilai q dan nilai r.

• 3p - 2q + r = -1 ................................. dikalikan 1
• -p + 3q + r = 6 .................................. dikalikan (-3)
• 3p - 2q + r = -1
• 3p - 9q - 3r = -18 _
• >>>> 7q + 4r = 17 ............................. persamaan (5)

Dieliminasikan nilai q pada persamaan (4) dan (5) untuk mengetahui nilai r.

• -7q + 8r = -71 .................................... dikalikan 1
• 7q + 4r = 17 ....................................... dikalikan (-1)
• -7q + 8r = -71
• -7q - 4r = -17 _
• >>> 12r = -54
• >>> r = -54/12
• >>> r = -9/2

Dieliminasikan nilai r pada persamaan (4) dan (5) untuk mengetahui nilai q.

• -7q + 8r = -71 .................................... dikalikan 1
• 7q + 4r = 17 ....................................... dikalikan 2
• -7q + 8r = -71
• 14q + 8q = 34 _
• >> -21q = -105
• >> q = (-105)/(-21)
• >> q = 5

Setelah mengetahui nilai q = 5 dan nilai r = -9/2, kemudian substitusikan pada persamaan (3) untuk mengetahui nilai p.

• -p + 3q + r = 6
• -p + 3(5) + (-9/2) = 6
• -p + 15 + (-9/2) = 6
• -p + 30/2 - 9/2 = 12/2
• -p + 21/2 = 12/2
• -p = 12/2 - 21/2
• -p = -9/2
• p = (-9/2)/(-1)
• p = 9/2

Jadi, himpunan penyelesaian tersebut adalah

• {p , q , r} = {9/2 , 5 , -9/2}.