Ponieważ punkty A i B należą do okręgu, więc odcinki AS i BS są promieniami, więc zachodzi
[tex]|AS|=|BS|\\|AS|=\sqrt{(4-(-4))^2+(y_S-0)^2}=\sqrt{8^2+y_S^2}=\sqrt{64+y_S^2}\\|BS|=\sqrt{(0-(-4))^2+(y_S-6)^2}=\sqrt{16+y_S^2-12y_S+36}=\sqrt{y_S^2-12y_S+52}\\\sqrt{64+y_S^2}=\sqrt{y_S^2-12y_S+52}\ |^2\\64+y_S^2=y_S^2-12y_S+52\\64=-12y_S+52\\12y_S=52-64\\12y_S=-12\ |:12\\y_S=-1[/tex]Zatem środek okręgu ma współrzędne
[tex]S=(4,-1)[/tex]
Promieniem jest np. odcinek AS, więc jego długość to
coconut5560
Bardzo dziękuję za dokładne obliczenia z wyjaśnieniami, odpowiedź zgadza się z odpowiedziami z tyłu podręcznika. Wszystko jest dobrze, tak bardzo jestem wdzięczna!
Odpowiedź:
[tex](x-4)^2+(y+1)^2=65[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Do okręgu należą punkty przecięcia prostej [tex]k: 3x-2y+12=0[/tex] z osiami układu współrzędnych. Znajdźmy te punkty.
Punkt wspólny z osią OX ma współrzędną igrekową równą 0, więc
[tex]3x-2*0+12=0\\3x=-12\ |:3\\x=-4\\A=(-4,0)[/tex]
Punkt wspólny z osią OY ma współrzędną iksową równą 0, więc
[tex]3*0-2y+12=0\\-2y=-12\ |:(-2)\\y=6\\B=(0,6)[/tex]
Środek okręgu należy do prostej
[tex]l:x-4=0\\l:x=4[/tex]
więc jego współrzędne można zapisać jako
[tex]S=(4,y_S)[/tex]
Ponieważ punkty A i B należą do okręgu, więc odcinki AS i BS są promieniami, więc zachodzi
[tex]|AS|=|BS|\\|AS|=\sqrt{(4-(-4))^2+(y_S-0)^2}=\sqrt{8^2+y_S^2}=\sqrt{64+y_S^2}\\|BS|=\sqrt{(0-(-4))^2+(y_S-6)^2}=\sqrt{16+y_S^2-12y_S+36}=\sqrt{y_S^2-12y_S+52}\\\sqrt{64+y_S^2}=\sqrt{y_S^2-12y_S+52}\ |^2\\64+y_S^2=y_S^2-12y_S+52\\64=-12y_S+52\\12y_S=52-64\\12y_S=-12\ |:12\\y_S=-1[/tex]Zatem środek okręgu ma współrzędne
[tex]S=(4,-1)[/tex]
Promieniem jest np. odcinek AS, więc jego długość to
[tex]r=|AS|=\sqrt{64+(-1)^2}=\sqrt{64+1}=\sqrt{65}[/tex]
Zatem równanie okręgu jest postaci
[tex](x-x_S)^2+(y-y_S)^2=r^2\\(x-4)^2+(y+1)^2=65[/tex]