Question

Geometria analityczna:
Dane są punkty: A=(2,1,-1), B=(-1,3,0), C=(1,1,-4), D=(2,0,3). Oblicz wysokość h opuszczoną z wierzchołka A na przeciwległą ścianę BCD.

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Aby obliczyć wysokość h opuszczoną z wierzchołka A na przeciwległą ścianę BCD, musimy znaleźć równoległą płaszczyznę do płaszczyzny BCD przechodzącą przez punkt A. Wysokość h będzie równa odległości między wierzchołkiem A a płaszczyzną BCD.

Wyznaczamy wektor normalny do płaszczyzny BCD:

Wektor normalny do płaszczyzny BCD można znaleźć jako iloczyn wektorowy dwóch wektorów kierunkowych na tej płaszczyźnie. Wektory kierunkowe możemy otrzymać jako różnicę wektorów między punktami.

Wektor AB = B - A = (-1, 3, 0) - (2, 1, -1) = (-3, 2, 1)

Wektor AC = C - A = (1, 1, -4) - (2, 1, -1) = (-1, 0, -3)

Wektor normalny N do płaszczyzny BCD to iloczyn wektorowy wektorów AB i AC:

N = AB x AC = (-3, 2, 1) x (-1, 0, -3)

Aby obliczyć iloczyn wektorowy, możemy użyć reguły Sarrusa:

N = ((2 * 1) - (0 * 1), (-3 * (-1)) - (1 * (-3)), (-3 * 0) - (1 * (-1)))

= (2, -6, 0)

Wektor normalny N = (2, -6, 0) jest wektorem normalnym do płaszczyzny BCD.

Obliczamy równanie płaszczyzny BCD:

Równanie płaszczyzny BCD możemy zapisać jako Ax + By + Cz + D = 0, gdzie (A, B, C) to współczynniki normalne do płaszczyzny, a D jest stałą.

Podstawiamy wartości współrzędnych jednego z punktów (np. B) oraz wektora normalnego N:

-2x - 6y + 0z + D = 0

Możemy przyjąć D = 0, aby uprościć równanie:

-2x - 6y = 0

x + 3y = 0

Równanie płaszczyzny BCD to x + 3y = 0.

Obliczamy odległość między punktem A a płaszczyzną BCD:

Odległość d między punktem A(x1, y1, z1) a płaszczyzną Ax + By + Cz + D = 0 można obliczyć za pomocą wzoru:

d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / sqrt(A² + B² + C²)

Podstawiając wartości, otrzymujemy:

d = |(1 * 2) + (3 * 1) + (0 * (-1)) + 0