Question

Sean f y g las funciones de valor real definidas como f(x) = 14x √ x - 16 , g(x) = 28√ 19 - x ¿Cuál conjunto es el dominio de la función f / g? Respuesta:

Answer 1

Llamemos h(x) a la función formada por el cociente  de las funciones f y g. Es decir

h(x) = f(x) / g(x)  = 14x √ x - 16 / 28√ 19 - x ;  entonces h(x) se expresa como

h(x) = (14x √ x - 16 )/( 28√ 19 - x) ,

Ahora, analicémosla para encontrar el Dominio, o el subconjunto de números reales, que tienen imagen en h(x)

El numerador, es una función radical, con un término con la expresión √ x. Esto significa √ x ≥ 0,  es decir, x ≥ 0 y por lo tanto, el numerador tiene que ser ≥ 0.

Esto significa que:

14x √ x - 16 ≥ 0,  despejando x, se tiene que:

x√ x  ≥ 16/14, que es lo mismo  que x^(3/2) ≥ 8/7,   x ≥ (8/7)^2/3

Entonces     x ≥ 1,09 = 109/100;     x ≥  109/100

Lo que significa que su dominio es, D ⊃  ∨ x ∈ [109/100, +∞)


El denominador es una función lineal de la forma ax + b:

28√ 19 - x, con a=-1   y   b = 28√ 19

El dominio de esta expresión serán todos los reales R, excepto el 0, pues el denominador no puede ser 0. 

Entonces, el valor de x que hace al denominador 0 es: 

28√ 19 - x = 0,    x = 28√ 19 = 122,05  = 12205/100;   x =  12205/100

Entonces el dominio D del denominador sería:

D ⊃ ∨ x ∈  (-∞, 12205/100) U (12205/100, +∞)


Unificando los dominios  del numerador y del denominador podemos decir que el dominio h(x) = f(x) / g (x), se expresa como:

D ⊃ ∨ x ∈  [109/100, 12205/100) U (12205/100, +∞)


Espero que esta respuesta te haya ayudado.